P4370[Code+#4]组合数问题2【数学,堆】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4370

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题目大意

求满足\(m\leq n\leq a\)的情况下，前\(k\)大的\(\binom{n}{m}\)的和。

\(1\leq n\leq 10^6,1\leq k\leq 10^5\)

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解题思路

首先想到的是\(\binom{n}{m}>\binom{n-1}{m}\)（这个十分显然）。

第一想法是开\(n\)个堆然后每次取最大的，但是发现我们不能比较组合数的大小。

然后看题解发现可以直接取组合数的\(log\)这样就能比较了。

时间复杂度：\(O((k+n)\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
struct node{
	double w;ll x,y;
};
bool operator<(node x,node y)
{return x.w<y.w;}
ll n,k,ans,inv[N],fac[N];
double s[N];
priority_queue<node> q;
double D(ll n,ll m)
{return s[n]-s[m]-s[n-m];}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	for(ll i=1;i<N;i++){
		inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
		fac[i]=fac[i-1]*i%P;
		s[i]=s[i-1]+log(i);
	}
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(ll i=0;i<=n;i++)
		q.push((node){D(n,i),n,i});
	while(k--){
		node x=q.top();q.pop();
		(ans+=C(x.x,x.y))%=P;
		if(x.x==x.y)continue;
		q.push((node){D(x.x-1,x.y),x.x-1,x.y});
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}