P3244[HNOI2015]落忆枫音【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3244

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题目大意

给出一个\(\text{DAG}\)，保证\(1\)可以到达所有点。然后再加入一条边（之后不一定是\(\text{DAG}\)）。

求有多少棵以\(1\)为根的外向生成树。

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 2\times 10^5\)

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解题思路

发现不考虑加边都不会做/kk

其实结论不难想也很显然，就是除了一号点以外所有点的入度乘积（每个点选择一个父亲，因为是\(\text{DAG}\)所以一定没有环）

然后加一条边怎么搞，因为可能会生成环。

可以考虑直接减去环的方案，设\(del\)表示加边前的总方案，那么对于每个环上所有点的度数乘积\(k\)，需要减去的方案就是\(\frac{del}{k}\)。

现在考虑如何计算所有点的度数乘积的倒数和。

不难搞，直接\(\text{DAGdp}\)或者记亿化\(dp\)随便搞搞都可以

时间复杂度\(O(n+m)\)（如果线性预处理了逆元的话）

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=1e9+7;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,u,v,tot,ls[N],deg[N],g[N];
bool vis[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x){
	if(vis[x])return;vis[x]=1;
	if(x==u){g[x]=power(deg[x],P-2)%P;return;}
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next)
		dfs(a[i].to),(g[x]+=g[a[i].to])%=P;
	g[x]=g[x]*power(deg[x],P-2)%P;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&u,&v);
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);deg[y]++;
	}
	deg[1]++;ll ans=1,del=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		ans=ans*(deg[i]+(i==v))%P,del=del*deg[i]%P;
	dfs(v);
	printf("%lld\n",(ans-g[v]*del%P+P)%P);
}