• P4859-已经没有什么好害怕的了【容斥,dp】


    正题

    题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4859


    题目大意

    两个长度为(n)的序列(a,b)两两匹配,求(a_i>b_i)的组数比(a_i<b_i)的组数多(k)的方案数。
    保证输入数字两两不同


    解题思路

    其实就是求恰好有(frac{n+k}{2})(a_i>b_i)的匹配方案。

    先设(f_{i,j})表示到(a)的第(i)个,已经选择了(j)组的方案。转移起来比较麻烦,我们不知道(b)中选了哪些。

    (a)(b)排序后,设(l_i)表示一个最大的数字使得(a_i>b_{l_i}),然后就可以(dp)

    [f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1} imes(l_i-j+1) ]

    之后发现我们很难固定其他配对的大小,可以考虑容斥,设(g_i)表示至少有(i)对满足(a_i>b_i)的方案,那么有(g_i=f_i imes (n-i)!)
    然后就可以直接容斥了,因为(g_i)中有(inom{i}{k})中方案选出(k)个配对满足,所以容斥系数就是((-1)^{i-k}inom{i}{k})
    答案就是

    [sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}inom{i}{k}g_i ]

    时间复杂度(O(n^2))


    code

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #define ll long long
    using namespace std;
    const ll N=2100,P=1e9+9;
    ll n,k,C[N][N],a[N],b[N],f[N][N],g[N],l[N],ans;
    signed main()
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        if((n+k)&1)return puts("0")&0;
        k=(n+k)/2;C[0][0]=1;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
            for(ll j=0;j<=i;j++)
                C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;
        for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
        for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
        sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);
        for(ll i=1;i<=n;i++)   
            for(ll j=1;j<=n;j++)
                if(b[j]<a[i])l[i]=j;
                else break;
        f[0][0]=1;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
            for(ll j=0;j<=n;j++)
                f[i][j]=(f[i-1][j]+(j?f[i-1][j-1]*max(l[i]-j+1,0ll)%P:0))%P;
        for(ll i=n,s=1;i>=0;i--,s=s*(n-i)%P)g[i]=f[n][i]*s%P;
        for(ll i=k;i<=n;i++){
            ll tmp=g[i]*C[i][k]%P;
            (ans+=((i-k)&1)?P-tmp:tmp)%=P;
        }
        printf("%lld
    ",ans);
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14331161.html
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