正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF438E
题目大意
每个节点有(n)个权值可以选择，对于(1sim m)中的每个数字(k)，求权值和为(k)的二叉树个数。
解题思路
设(f_n)表示权值和为(n)的方案数，(g_n)表示(n)这个权值是否可用。
那么我们对于一个(n)的转移，可以枚举根节点的权值，然后再用(f)去计算子节点的权值，具体的式子是
[f_n=sum_{w=1}^ng_wsum_{i=0}^{n-w}f_if_{n-w-i}
]
会发现这个三个数的下标和就是(n)，这其实一个大卷积，设多项式(F[x]=f_x)和(G[x]=g_x)。那么根据上面式子就有
[F=F^2G+1
]
（加1是因为(f_0=1)，然后可以解出式子）
[F=frac{1pm sqrt{1-4G}}{2G}
]
这里的(pm)我们取负号，因为取正号时不满足收敛性。
当然我也不知道怎么判正负，但是这题发现(F[0]=1)但是(G[0]=1)。又有(2GF=1pmsqrt{1-4G})，显然有((2GF)[0]=0)。但是如果取正号，那么((1+sqrt{1-4G})[0]geq1)，所以显然不可能，只能取负。
然后可以直接上多项式开根和求逆做？发现(G[0]=0)不能求逆，只好再化一下式子变成
[F=frac{2}{1+sqrt{1-4G}}
]
时间复杂度(O(nlog n))
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=8e5+10,P=998244353,inv2=(P+1)/2;
ll n,m,a[N],b[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
namespace Poly{
ll n,t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],r[N];
void GetL(ll l){
n=1;while(n<=l)n<<=1;
for(ll i=0;i<n;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
for(ll i=0;i<n;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<n;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=f[i+len]*buf%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
ll invn=power(n,P-2);
for(ll i=0;i<n;i++)
f[i]=f[i]*invn%P;
}
return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){
if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}
GetInv(f,g,m>>1);GetL(m);
for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];
for(ll i=m;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;
NTT(t1,1);NTT(t2,1);
for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;
NTT(t1,-1);
for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-t1[i]+P)%P;
return;
}
void GetSqrt(ll *f,ll *g,ll m){
if(m==1){g[0]=1;return;}
GetSqrt(f,g,m>>1);
for(ll i=0;i<m;i++)t3[i]=0;
GetInv(g,t3,m);GetL(m<<1);
for(ll i=0;i<m;i++)t4[i]=f[i];
for(ll i=m;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;
NTT(t3,1);NTT(t4,1);
for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i]%P;
NTT(t3,-1);
for(ll i=0;i<m;i++)
g[i]=(g[i]+t3[i])*inv2%P;
return;
}
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=0;i<n;i++){
ll x;
scanf("%lld",&x);
if(x>m)continue;
a[x]=P-4;
}
ll l=1;a[0]++;
while(l<=m)l<<=1;
Poly::GetSqrt(a,b,l);
memset(a,0,sizeof(a));
b[0]++;Poly::GetInv(b,a,l);
for(ll i=1;i<=m;i++)
printf("%lld
",a[i]*2%P);
return 0;
}