正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6097
题目大意
长度为(2^n)的序列(a,b)求一个(c)满足
[c_k=sum_{i|j=k,i&j=varnothing}a_i imes b_j
]
解题思路
从炫酷反演魔术过来的，顺便写掉这题
简单的说就是求(k)的所有子集和其补集的乘积和。
只有(i|j=k)的话就是普通的( ext{FWT})了，但是还有(i&j=varnothing)这个东西。
一个巧妙的想法是把这个条件转换为(|i|+|j|=|icup j|)，显然两个之间是充要的。
然后可以把(a_i)存在(f_{ct(i),i})这个位置，其中(ct(i))表示(i)中(1)的个数。同理(b_i)存在(g_{ct(i),i})这个位置。
然后就有卷积
[h_{a,b}=sum_{i+j=a,x|y=b}f_{i,x} imes g_{j,y}
]
这个先暴力( ext{FWT})了(f,g)然后暴力卷积然后( ext{IFWT})回去就好了。
时间复杂度(O(n^22^n))，不能全开( ext{long long})不然会( ext T)的
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21,P=1e9+9;
int n,k,ct[1<<N],f[N][1<<N],g[N][1<<N],h[N][1<<N];
void FWT(int *f,int op){
for(int p=2;p<=n;p<<=1)
for(int k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)
for(int i=k;i<k+len;i++)
(f[i+len]+=(f[i]*op+P)%P)%=P;
return;
}
signed main()
{
// printf("%d",sizeof(f)>>20);
scanf("%d",&k);n=(1<<k);
for(int i=0;i<n;i++){
if(i)ct[i]=ct[i-(i&-i)]+1;
scanf("%d",&f[ct[i]][i]);
}
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&g[ct[i]][i]);
for(int i=0;i<=k;i++)
FWT(f[i],1),FWT(g[i],1);
for(int i=0;i<=k;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
for(int x=0;x<n;x++)
(h[i][x]+=1ll*f[j][x]*g[i-j][x]%P)%=P;
for(int i=0;i<=k;i++)FWT(h[i],-1);
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",h[ct[i]][i]);
return 0;
}