正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3306
题目大意
给出一个(p,a,b,x_1,t)，有(x_i=ax_{i-1}+b)
求一个最小的(n)使得(x_n=t)
解题思路
下标缩一下先变成(x_0)会更好算一点，只考虑(x_0)的贡献就是(x_0 imes a^n)，这个比较好搞。
(b)的贡献的话，对于第(i)次加入的(b)贡献是(a^{n-i})总共也就是(b imes sum_{i=0}^{n-1}a^i)
通项公式一下合起来就是
[x_0a^n+frac{a^n-1}{a-1}b=t
]
把(a^n)提到前面来就是
[a^n=frac{t(a-1)+b}{xa-x+b}
]
后面那个是已知的，然后就是上( ext{BSGS})就好了。
需要注意的是如果(a=1)就不能用通项公式了，得上( ext{exgcd})来搞。
要特判的东西有点多就不多讲了
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll T,p,a,b,x,t,ans;
map<ll,ll> v;
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%p;
x=x*x%p;b>>=1;
}
return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){
x=1;y=0;
return a;
}
ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
ll z=x;x=y;y=z-a/b*y;
return d;
}
void works(ll a,ll b,ll p){
ll x,y;
ll d=exgcd(a,p,x,y);
if(b%d){
printf("-1
");
return;
}
x*=b/d;y*=b/d;
printf("%lld
",(x%(d*p)+d*p)%(d*p)+1);
}
ll work(ll a,ll b,ll p){
if(!a&&!b)return 1;
if(!a)return -2;
ll t=sqrt(p)+1;v.clear();
for(ll i=0,z=1;i<t;i++,z=z*a%p)
v[z*b%p]=i;
a=power(a,t);
if(b==1||!a)return 1;
else if(!a)return -2;
ll ans=1e18;
for(ll i=0,tmp=1;i<=t;i++,tmp=tmp*a%p){
ll j=(v.find(tmp)!=v.end())?v[tmp]:-1;
if(j>=0&&i*t-j>=0)ans=min(ans,i*t-j);
}
if(ans==1e18)return -2;
return ans;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x,&t);
if(!a&&!t&&b){puts("-1");continue;}
if(x==t){puts("1");continue;}
if(a==1){
works(b,(t-x+p)%p,p);
continue;
}
t=(t*(a-1)+b)%p;x=(x*a-x+b+p)%p;
t=t*power(x,p-2)%p;t=(t+p)%p;
printf("%lld
",work(a,t,p)+1);
}
return 0;
}