P6091[模板]原根

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6091

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题目大意

给出一个数\(p\)，求出它的所有在\([0,p]\)的原根。

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解题思路

原根的定义，\(\delta_p(a)\)表示一个最小的\(n\)使得\(a^n\equiv1(mod\ p)\)，若\(gcd(a,p)=1\)且\(\delta_p(a)=\varphi(p)\)则\(a\)为\(p\)的一个原根。

两个个结论就是一个数有原根当且仅当它为\(2,4,p^a,2p^a\)（其中\(p\)为奇质数，\(a\in N^+\)）。还有若\(g\)表示最小正原根，那么其他原根可以被表示为\(g^k\% p(\ gcd(\varphi(p),k)=1\ )\)。

这两个结论在洛谷题解都有详细证明，这里就不多赘述了。

那么考虑如何求出最小正原根，因为原根的数量大约有\(\varphi(\varphi (p))\)个，所以密集度比较高，据说最小正原根约是\(O(n^{2.5})\)级别的。

所以考虑直接枚举，但是我们判定的时候肯定不能从\(1\sim \varphi(p)\)枚举来判断。

我们还需要用到一个结论就是如果对于\(gcd(a,p)=1\)且\(a^k\equiv 1(mod\ p)\)（也就是\(k\)是\(a\)模\(n\)的阶），那么有\(k|\varphi(p)\)。所以我们需要判定\(\varphi(p)\)的所有因子？看起来还是很大，但是我们显然有\(a^k\equiv 1(mod\ p)\)那么\(a^{kx}\equiv1(mod\ p)\)其中\(x\in N^+\)。所以我们只需要枚举\(\frac{\varphi(p)}{k}\)（其中\(k\)是\(\varphi(p)\)的质因子）即可，因为这些数包含了其他数的倍数。

时间复杂度\(O(n^{2.5}\log n+n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll T,n,d,cnt,phi[N],pri[N];
bool v[N],rt[N];
vector<int> q;
void prime(){
    phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<N;i++){
        if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
            v[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
    rt[2]=rt[4]=1;
    for(ll i=2;i<=cnt;i++){
        for(ll j=1;j<N;j*=pri[i])rt[j]=1;
        for(ll j=2;j<N;j*=pri[i])rt[j]=1;
    }
    return;
}
ll power(ll x,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{return (!y)?x:gcd(y,x%y);}
void dec_phi(ll x){
    for(ll i=1;i<=cnt&&pri[i]*pri[i]<=x;i++)
        if(x%pri[i]==0){
            q.push_back(pri[i]);
            while(x%pri[i]==0)x/=pri[i];
        }
    if(x!=1)q.push_back(x);
    return;
}
bool check(ll x){
    if(power(x,phi[n],n)!=1)return 0;
    for(ll i=0;i<q.size();i++)
        if(power(x,phi[n]/q[i],n)==1)
            return 0;
    return 1;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&T);
    prime();
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&d);q.clear();
        if(!rt[n]){printf("0\n\n");continue;}
        dec_phi(phi[n]);ll g=1;
        while(!check(g))g++;
        ll tmp=1;q.clear();
        for(ll i=1;i<=phi[n];i++){
            tmp=tmp*g%n;
            if(gcd(phi[n],i)==1)
                q.push_back(tmp);
        }
        printf("%lld\n",q.size());
        sort(q.begin(),q.end());
        for(ll i=1;i<=q.size()/d;i++)
            printf("%lld ",q[i*d-1]);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}