问题 D: [Cqoi2014]数三角形
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题目描述
给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。
注意三角形的三点不能共线。
输入
输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。
输出
输出一个正整数，为所求三角形数量。
样例输入
2 2
样例输出
76
数据范围
1<=m,n<=1000
如果挨个枚举合理情况，TLE到上天。。可以直接C(n*m,3)求出总的方案数，再减去不合法的，而不合法的只有在一条线段上三个点才会出现。那么我们可以固定一个端点，枚举线段了。
我固定（1,1），gcd(x-1,y-1)-1就是线段上除两端点外所有整点的个数了。（这就是题目里那个小规律。。）直接减去就行。（两端点+线段上一个整点的总情况数，其他的情况还会被枚举到）但这样枚举线段依然会炸，那么再来考虑，当前枚举的线段，是一个小矩形的对角线（反过来另一条对角线就不用枚举了），然后这个小矩形可以平移，又有好多线段一次就被算出来了。注意，平的和竖直的网格线要特殊算，因为不能反过来。
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int gcd(int x,int y){return y==0? x:gcd(y,x%y);}
ll n,m,ans,tot;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
n++;m++;
tot=n*m;
ans=tot*(tot-1)*(tot-2)/6;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=2;j<=m;j++)
{
int k=gcd(i-1,j-1)-1;
if(k>0)
{
int l=(n-i+1)*(m-j+1);
ans-=k*l*2;
}
}
for(int i=2;i<=n;i++)ans-=(n-i+1)*m*(i-2);
for(int i=2;i<=m;i++)ans-=(m-i+1)*n*(i-2);
cout<<ans;
}