数论函数：定义域在正整数的函数，更一般的说可以是定义在整数上的。
性质
[1.(f+g)(x)=f(x)+g(x) \
2.(nf)(x)=n*f(x) \
]
现在设有数论函数h,g,f
若
[ h(N)=sum_{d ackslash N} f(d)g(frac{N}{d})
]
那么h就被称f和d的狄利克雷卷积，可以记作h=f*g ，这里的乘号是卷积乘.
eg.(h(6)=f(1)g(6)+f(2)g(3)+f(3)g(2)+f(6)g(1))
性质:
1.
定义单位函数(varepsilon)为狄利克雷卷积的单位元，对于任意函数f，都(f*varepsilon=varepsilon*f=f)
[varepsilon(x) = [x=1]
]
3.狄利克雷卷积满足(结合律f*(g*t)=(f*g)*t,交换律f*g=g*f,分配律f*(t+g)=f*t+f*g)
4.如果f和g都是积性函数，那么它们的狄利克雷卷积也是积性函数,那么就可以用欧拉筛来筛狄利克雷卷积，其实还有其他作用.
5.有逆元
计算狄利克雷卷积
计算h(N)需要枚举N的约数。时间复杂度(O(sqrt N))
求前N项的h(x)，时间复杂度为(O(N log N))
求狄利克雷卷积的逆元
狄利克雷卷积有一个性质：对每个(f(1)≠0)的函数f，都存在一个函数g使得 (f∗g=ϵ)
定义
[g(n)=frac{1}{f(1)}([n=1]-sum_{i mid n, i
eq 1} f(i) g(frac{n}{i}) )
]
[egin{aligned}
& sum_{i mid n} f(i) g(frac{n}{i}) \
=& f(1) g(n)+sum_{i ackslash n, i
eq 1} f(i) g(frac{n}{i}) \
=&[n=1]
end{aligned}
]
应用:见莫反证明咯