内容:设p是一个质数,对任意整数a,有(a^{p} equiv a(mod p )),如果ap互质,有(a^{p-1} equiv 1 (mod p))。
证明:我只会数学归纳法,其它不会。。
(quad quad) 1. 首先,我们很容易得出 当a=1时,有(1^{p} equiv 1 (mod p ))
(quad quad) 2.假设费马小定理成立,我们要将a成立的情况推向a+1的情况成立
(quad quad) 3.由二项式定理可得
[ (a+1)^{p} =a^{p}+{p choose 1}a^{p-1}+{p choose 2 }a^{p-2}+cdots+{p choose p-1}a+1
]
(quad quad) 而 ({p choose k}=frac{p(p-1)cdots(p-k+1)}{k!}) 所以在mod 意义下的 ({p choose k} equiv 0(mod p)) ,所以((a+1)^{p}=a^{p}+1(mod p))
证毕
应用: