我的第一道状态空间DP题的详细解题报告

POJ 2817 WordStack 解题报告

题目链接：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2817

题目主要用到的算法：状态空间dp

题目描述：
 这个题的意思是第一行给出case数N (1 <= N <= 10)，然后给出N个单词，每个一行，当输入不是正整数的时候结束。每个单词最多10个字母。
Sample Input
5
abc
bcd
cde
aaa
bfcde
0
要求的是，按任意顺序排列这些单词，可以在单词前面加任意个空格，使得相邻的单词上下对应的字母数目最多，并输出最多是多少。
Sample Output
8
比如sample里面的8，是这样得来的：
aaa
abc
 bcd
  cde
bfcde
注意只有相邻单词的字母上下对应才算对应。

我AC的代码：

AC的代码
 1
 2#include <cstdio>
 3#include <cmath>
 4#include <cstring>
 5
 6char word[11][15];
 7int mm[11][11];
 8int len[11];
 9int n;
int dp[2000][11];

void Cal( int a, int b ) //word[a]和word[b]有多少公共字母，存在mm[a][b]里,test OK
{
     int max = 0;
     for ( int i = 0; i < len[a]; ++i )
     {
         int result = 0;
         for ( int j = 0; j < len[b]; ++j )
         {
             if ( i+j<len[a] && word[a][i+j] == word[b][j] ) ++result;
         }
         max >?= result;
     }
     for ( int i = 1; i < len[b]; ++i )
     {
         int result = 0; 
         for ( int j = 0; j < len[a]; ++j )
         {
             if ( i+j<len[b] && word[b][i+j] == word[a][j] ) ++result;
         }
         max >?= result;
     }
     mm[a][b] = mm[b][a] = max;
}

int Fun( int state, int last )
{
    int max = 0;
    int state_t = state;
    state_t &= (~(1<<(last-1)));
    if ( state_t == 0 ) return 0;
    if ( dp[state][last] ) return dp[state][last];
    
    for ( int i = 0 ; i < n; ++i )
    {
        int result = 0;
        int tmp = state_t&(~(1<<i));
        if ( tmp != state_t ) result = Fun( state_t, i+1 )+mm[i+1][last];
        max >?= result;
    }
    
    dp[state][last] = max;
    return max;
}

int main()
{
    while ( scanf( "%d", &n ), n>0 ) 
    {
          int max = 0;
          int power = (int)pow( 2, n );
          
          for ( int i = 0; i < power; ++i )
          {
              for ( int j = 0; j <= n; ++j )
              {
                  dp[i][j] = 0;
              }
          }
          
          for ( int i = 1; i <= n; ++i )
          {
              scanf( "%s", word[i] );
              len[i] = strlen( word[i] );
          }
          
          for ( int i = 1; i <= n; ++i )
          {
              for ( int j = i+1; j <= n; ++j )
              {
                  Cal( i, j ); //Cal函数算word两两之间的最大公共字母数存到mm里 
              }
          }
          
          for ( int i = 1; i <= n; ++i ) 
          {
              int tt = Fun( power-1, i );//Fun函数用来求dp[][]的值，也就是全部单词都放满，最后一行是i的情况下总的最大公共字母数 
              max >?= tt;
          }
          printf( "%d\n", max );
    }
    return 0;
}

思路：分析这个题目，我们应该很容易就看出，结果只与单词的排列顺序有关，至于在每个单词前面加几个空格对结果是不影响的。所以我们可以首先统计这n个单词两两之间最多能有多少个对应的字母，放到数组mm[11][11]中(因为题目说n最大是10)。数组名取得不太好哈:-P.比如sample里面的五个单词计算出的mm数组应该是这样的
0 0 0 0 0 0
0 0 2 1 1 1
0 2 0 2 0 2
0 1 2 0 0 3
0 1 0 0 0 0
0 1 2 3 0 0
mm[i][j] 是 word[i]和word[j]前面加任意个空格能对应的最多字母数。我的代码里是用一个Cal函数实现的这个功能。其中mm数组是全局变量。

 1void Cal( int a, int b ) //word[a]和word[b]有多少公共字母，存在mm[a][b]里,test OK
 2{
 3     int max = 0;
 4     //以word[a]作为基准，依次在word[b]前面添加1～len[a]-1这么多空格，看最多能有多少个字母匹配
 5     for ( int i = 0; i < len[a]; ++i )
 6     {
 7         int result = 0;
 8         for ( int j = 0; j < len[b]; ++j )
 9         {
             if ( i+j<len[a] && word[a][i+j] == word[b][j] ) ++result;
         }
         max >?= result;//">?="这个操作符的意思是二者中取最大的赋给max，可能在vc6.0里不支持
     }
     //和上面的代码类似，word[b]不动，在word[a]前面添加空格。
     for ( int i = 1; i < len[b]; ++i )
     {
         int result = 0; 
         for ( int j = 0; j < len[a]; ++j )
         {
             if ( i+j<len[b] && word[b][i+j] == word[a][j] ) ++result;
         }
         max >?= result;
     }
     mm[a][b] = mm[b][a] = max;//这个矩阵是对称的
}

 

对这个题目，不知大家是不是想到了全排列的方法呢？就是把这n个单词全部的可能放置的顺序都排列出来，把上下相邻的公共字母数相加，哪种排列得到的结果最大，就是最终结果。
首先肯定这个做法是绝对正确的，而且也可以用这个做法AC这个题目（见附代码）。但是，这个做法效率比较低，用了600ms多才跑完数据。而且这种做法没有学到我们要学习的内容，状态空间dp。

接下来给出的是最关键的部分，状态空间dp部分的代码，只有短短的14行，用心理解便不困难

Fun函数
 1int dp[2000][11];//其实2^10=1024就够用了，不需要2000这么多，呵呵
 2int Fun( int state, int last )
 3{
 4    int max = 0;
 5    int state_t = state;
 6    state_t &= (~(1<<(last-1)));
 7    if ( state_t == 0 ) return 0;
 8    if ( dp[state][last] ) return dp[state][last];
 9    for ( int i = 0 ; i < n; ++i )
    {
        if ( state_t&(~(1<<i)) != state_t ) max >?= Fun( state_t, i+1 )+mm[i+1][last];
    }
    dp[state][last] = max;
    return max;
}

我先来解释思路再解释这段代码。
其中主函数对Fun函数的调用部分代码如下：

           int max = 0;
           int power = (int)pow( 2, n );
 
           for ( int i = 1; i <= n; ++i ) 
           {
               int tt = Fun( power-1, i );//Fun函数用来求dp[][]的值，也就是全部单词都放满，最后一行是i的情况下总的最大公共字母数 
               max >?= tt;
           }
           printf( "%d\n", max );

int Fun( int state, int last )函数的作用如注释所说，Fun函数的第一个参数state表示单词填入的状态，在这里，power-1表示的是所有的单词都已经放到排列里面的状态（我在后面会解释为什么）。第二个参数last表示最后添入的单词是哪个。这段代码的意思是：全部单词都填入，且最后填入的单词是word[i]的时候，总的最多的公共字母数是多少，当i取遍1～n的时候，就包括了全部的情况。取最大，就是我们要的结果。比如sample中，power-1 = 31（31的二进制码是11111）假设i=3，Fun(31,3)就表示下面的情况
word[x]
word[y]
word[z]
word[a]
word[3]
也就是说，x y z a是1 2 4 5的任意排列，或者说全部排列，然后最后一行必须是word[i],也就是word[3],取总公共字母数最多的值作为Fun函数的返回值。

现在我们回头看Fun函数是如何实现的。

 1 
 2 int Fun( int state, int last ) //第一个参数state表示状态，也就是各个单词的取用情况，是用二进制的位运算解决的。因为每个单词只有两种状态，被用了和没被用，那我们就用1表示取了这个单词，0表示没取。每一位表示一个单词的取用情况,第i位表示第i-1个单词是否被取。比如10011表示word[5]word[2]word[1]被取，而word[4]word[3]未被取。
 3 {
 4     int max = 0;
 5     int state_t = (state & (~(1<<(last-1))); //state_t是state去掉last的状态。
 6     if ( state_t == 0 ) return 0; //如果state去掉last以后是0，也就是说，前面一个单词都没取，那last就是第一个单词，没有和它相邻的单词，返回0
 7     if ( dp[state][last] ) return dp[state][last]; //记忆化搜索
 8     
 9     for ( int i = 0 ; i < n; ++i ) //让n个单词都和last相邻一次，取最大值
     {
         if ( state_t&(~(1<<i)) != state_t ) max >?= Fun( state_t, i+1 )+mm[i+1][last];//如果state_t的i这位是1，也就是说，state_t包括word[i+1],那么递归调用Fun函数得到state_t包括的所有单词都作为末一行的最大公共字母数，此时word[i+1]作为word[last]的相邻行，所以再加上mm[i+1][last]，取最大值存起来就可以了
     }
     
     dp[state][last] = max;
     return max;
 }

我觉得状态dp首先是个搜索，然后加上dp提高效率。顾名思义这个dp保存的是这种状态的最优结果。这是我的第一道状态dp题，这类题也仅仅做过两道而已，有什么不对和可以优化的地方请大侠们批评指正。

附：全排列的慢速代码

 1//枚举水过去的代码 
 2#include <iostream>
 3#include <vector>
 4#include <algorithm>
 5using std::vector;
 6using std::string;
 7
 8int dp[10][10] = {0};
 9
void F( string a, string b, int aa, int bb )
{
    int max = 0;
    string tmp;
    for ( int i = 0; i != a.size(); ++i )
    {
        int result = 0;
        for ( int j = 0; j != b.size() ; ++j )
        {
            if ( i+j < a.size() && b[j] == a[i+j] ) ++result;
        }
        if ( result > max ) max = result;
    }
    tmp = a;
    a = b;
    b = tmp;
    for ( int i = 0; i != a.size(); ++i )
    {
        int result = 0;
        for ( int j = 0; j != b.size(); ++j )
        {
            if ( i+j < a.size() && b[j] == a[i+j] ) ++result;
        }
        if ( result > max ) max = result;
    }
    dp[aa][bb] = dp[bb][aa] = max;
}

          vector<string> word;
          vector<int> id;
          
int main()
{
    int n;
    while ( scanf( "%d", &n )!=EOF && n > 0 )
    {
          int max = 0;
          int result = 0;
          for ( int i = 0; i < n; ++i )
          {
              string tmp;
              std::cin>>tmp;
              word.push_back(tmp);
              id.push_back( i );
          }
          sort( word.begin(), word.end() );
          
          for ( int i = 0; i < n; ++i )
          {
              for ( int j = i+1; j < n; ++j )
              {
                  F( word[i], word[j], i, j );
              }
          }
          
                for ( int i = 1; i < n; ++i )
                {
                    result += dp[i][i-1];
                }
                if ( result > max ) max = result;
               
          while ( next_permutation( id.begin(), id.end() ) )
          {
                result = 0;
                for ( int i = 1; i < n; ++i )
                {
                    result += dp[id[i]][id[i-1]];
                }
                if ( result > max ) max = result;
          }
          printf( "%d\n",max );
          word.clear();
          id.clear();
    }
    
    return 0;
}