Math

排列组合：

C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1)

从n+1个数里面选择k+1个数，可以转化成分析是否选第一个数

①如果选了，则转化成n个数里面选k个

②如果没选，则转化成n个数里面选k+1个

C(n,k+1) = C(n,k) * (n-k)/(k+1)

借此可以从C(n,0)递推到C(n,n)得出所有排列                                 /*O(n)的复杂度

重复元素的排列：

有k个元素，第i个元素的个数为n[i]。假设所有数都是不同的得出n！

但对于每个相同的数有n[i]！中排列可能，所以n[1]!*n[2]!......*n[k]!*x = n!,求出x即可

可重复选择的组合：

有n个元素，每个可以多次选择，选k个元素有多少种方法

类似于把k个球放到n个盒子当中，每个盒子可以放入多个，问有多少种方法

假设对n+k-1个点画n-1条分界线，球数为 所得个数-1。

C(k+n-1,n-1) = C(k+n-1,k)

对于给定的n个点，没有三点共线，没两个点之间用红色或者黑色的线段连接。

求三边同色的三角形个数：

反面考虑，只需求出非单色的三角形的个数便能间接得到三角形的个数，对于第i个点，假设有a[i]个黑边，则它有

n-1-a[i]条红边，则可以构成a[i]*(n-1-a[i])个非同色三角形，由于每个三角形考虑了两次，除以2即可

uva14401                          //机制的转换成数学问题

有1~n的n个整数，选出三个不同的整数，使得他们可以形成三角形。（3≤n≤1000000）

假设最大边x有c(x)个,y+z>x,所以 x-y<z<x,当y = x-1时,z有x-2个值。

一共有0+1+2......+x-2 = (x-2)*(x-1)/2个值。

但是其中有y = z的情况,y取值[x/2+1,x-1]共有(x-1)/2个

于是乎，枚举每个x，递推出最终答案。

void solve()
{
    for(int x = 4;x <= n;x++)
        {
            f[x] = f[x-1] + ((x-1)*(x-2)/2 - (x-1)/2)/2;
        }
}

Fibonacci数的矩阵实现

F[n] = F[n-1]+F[n-2]

欧拉函数：

得出[1,n-1]中与n互质的数的个数。

①：当n是素数p的k次幂，则phi[n] = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p(k-1)

②：当a，b互质时，phi[a*b] = phi[a]*phi[b];

③：如果a,m是互质的正整数，则a^phi(m) = 1(mod m)

④：如果n为奇数，则phi[2*n] = phi[n],

⑤：如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数

⑥：设p为质数，以减去能与p^n相约的数,即p^n/p,所以：phi[p^n] = p^n - p^(n-1)

Uva 11426

给你一个n，求1≤a<b≤n,gcd(a,b)的和。对于每一个[1,n]数t,枚举x,我们需要知道gcd(x,t) = i的个数，

所以等同于gcd(a/i,b/i) = 1的个数,值为i*gcd(a/i,b/i),预处理即可。

费马小定理 ( 如果p为质数且a，p互质      a^(p-1) = 1(mod  p) )

a^n = a^(n%(p-1))*a^(p-1)*..... = a^(n%(p-1)) 

所以：

A^B %C   这题的C是质数，而且A，C是互质的。

所以直接A^(B%(C-1)) %C   

如果p为素数，威尔逊定理:

(p-1)!≡ -1(mod p)

反素数：

 

对于任何正整数，其约数个数记为，例如，如果某个正整数满足：对任意的正整

 

数，都有，那么称为反素数。

有两个特点：

 

     1.一个反素数的质因子必是从2开始的质数

 

     2.如果，那么必有

从a->b走x步的方案数 （矩阵快速幂的经典问题）

唯一分解定理：可以用在排列组合等涉及因子的

for(int i = 2; i*i <= m ; i ++)  
    {  
        if(m % i == 0)  
        {  
            pm[cur] = i;  
            while(m % i == 0)  
            {  
                m /= i;  
                nm[cur]++;  
            }  
            cur++;  
        }  
    } 

/*学习,未完