网络流主要包括：
1、最大流
2、费用流
3、有上下界的网络流
网络流的基本技巧：
1、多个源点和汇点的情况。建立超级源点和超级汇点。
2、顶点有容量限制。拆成两个点，此两点连边，容量为原来的点被限制的容量。
3、最大费用转为最小费用。变负数，最后变回来。
一、最大流
最大流算法的思想是不断地找S到T的增广路。算法的效率是由找增广路的方法决定的。
Edmond - Karp算法：用广搜找增广路，时间复杂度 O (n*m*m )。思路最简单。
1 const int N=110, INF=0x3f3f3f3f; 2 int Map[N][N],pre[N],n,ans; 3 bool vis[N]; 4 queue<int> que; 5 bool EK_bfs(int s,int e) 6 { 7 int i,k; 8 while(!que.empty()) que.pop(); 9 memset(vis,0,sizeof(vis)); 10 memset(pre,0,sizeof(pre)); 11 que.push(s); 12 vis[s]=1; 13 while(!que.empty()) 14 { 15 k=que.front(); 16 if(e==k) return 1; 17 que.pop(); 18 for(i=1;i<=n;i++) 19 { 20 if(Map[k][i]&&!vis[i]) 21 { 22 vis[i]=1; 23 pre[i]=k; 24 que.push(i); 25 } 26 } 27 } 28 return 0; 29 } 30 void EK(int s,int e) 31 { 32 int u,mn; 33 ans=0; 34 while(EK_bfs(s,e)) 35 { 36 mn=INF; 37 u=e; 38 while(pre[u]!=-1) 39 { 40 mn=min(mn,Map[pre[u]][u]); 41 u=pre[u]; 42 } 43 ans+=mn; 44 u=e; 45 while(pre[u]!=-1) 46 { 47 Map[pre[u]][u]-=mn; 48 Map[u][pre[u]]+=mn; 49 u=pre[u]; 50 } 51 } 52 } 53 void init() 54 { 55 memset(Map,0,sizeof(Map)); 56 }
SAP算法：在寻找增广路的时候用了允许弧，并且用了Dinic算法的优化。时间复杂度为O(m*n*n)。
1 const int N=110; 2 const int M=2*N*N, INF=0x3f3f3f3f; 3 struct node 4 { 5 int to,next,w; 6 }edge[M]; 7 int head[N],numh[N],h[N],cure[N],pre[N]; 8 //numh:GAP优化的统计高度数量数组; h：距离标号数组; cure:当前弧 9 int ans,tot; 10 void SAP(int s, int e,int n) 11 { 12 int flow,u,tmp,neck,i; 13 ans=0; 14 memset(pre,-1,sizeof(pre)); 15 memset(h,0,sizeof(h)); 16 memset(numh,0,sizeof(numh)); 17 for(i=1;i<=n;i++) 18 cure[i]=head[i]; 19 numh[0]=n; 20 u=s; 21 while(h[s]<n) 22 { 23 if(u==e) 24 { 25 flow =INF; 26 for(i=s;i!=e;i=edge[cure[i]].to) 27 { 28 if(flow>edge[cure[i]].w) 29 { 30 neck=i; 31 flow =edge[cure[i]].w; 32 } 33 } 34 for(i=s;i!=e;i=edge[cure[i]].to) 35 { 36 tmp=cure[i]; 37 edge[tmp].w-=flow; 38 edge[tmp^1].w+=flow; 39 } 40 ans+=flow; 41 u=neck; 42 } 43 for(i=cure[u];i!=-1;i=edge[i].next) 44 if(edge[i].w && h[u]==h[edge[i].to]+1) break; 45 if(i!=-1) {cure[u]=i;pre[edge[i].to]=u;u=edge[i].to;} 46 else 47 { 48 if(0==--numh[h[u]]) break; //GAP优化 49 cure[u]=head[u]; 50 for(tmp=n,i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 51 if(edge[i].w) tmp=min(tmp, h[edge[i].to]); 52 h[u]=tmp+1; 53 ++numh[h[u]]; 54 if(u!=s) u=pre[u]; 55 } 56 } 57 } 58 void init() 59 { 60 tot=0; 61 memset(head,-1,sizeof(head)); 62 } 63 void addedge(int i,int j,int w) 64 { 65 edge[tot].to=j;edge[tot].w=w;edge[tot].next=head[i];head[i]=tot++; 66 edge[tot].to=i;edge[tot].w=0;edge[tot].next=head[j];head[j]=tot++; 67 }
Dinic算法：时间复杂度为O(m*n*n)。
1 const int N=110; 2 const int M=2*N*N, INF=0x3f3f3f3f; 3 struct node 4 { 5 int to,next,w; 6 }edge[M]; 7 int level[N],que[N],head[N]; 8 int tot,ans; 9 bool makelevel(int s, int t) 10 { 11 memset(level,0,sizeof(level)); 12 level[s]=1; 13 int iq=0 , i, k, top; 14 que[iq++]=s; 15 for(i=0;i<iq;i++) 16 { 17 top=que[i]; 18 if(top==t) return 1; 19 for(k=head[top];k!=-1;k=edge[k].next) 20 if(!level[edge[k].to] && edge[k].w) 21 { 22 que[iq++]=edge[k].to; 23 level[edge[k].to]=level[top]+1; 24 } 25 } 26 return 0; 27 } 28 int DFS(int now, int maxf, int t) 29 { 30 if(now ==t) return maxf; 31 int ret=0, f, k; 32 for(k=head[now];k!=-1;k=edge[k].next) 33 { 34 if(edge[k].w && level[edge[k].to]==level[now]+1) 35 { 36 f=DFS(edge[k].to, min(maxf-ret,edge[k].w), t); 37 edge[k].w-=f; 38 edge[k^1].w+=f; 39 ret+=f; 40 if(ret==maxf) return ret; 41 } 42 } 43 return ret; 44 } 45 void DINIC(int s, int t) 46 { 47 ans=0; 48 while(makelevel(s,t)) ans+=DFS(s,INF,t); 49 } 50 void init() 51 { 52 tot=0; 53 memset(head,-1,sizeof(head)); 54 } 55 void addedge(int i,int j,int w) 56 { 57 edge[tot].to=j;edge[tot].w=w;edge[tot].next=head[i];head[i]=tot++; 58 edge[tot].to=i;edge[tot].w=0;edge[tot].next=head[j];head[j]=tot++; 59 }
个人体会：最大流的题目一般不要求对算法进行修改（模版），难点在于如何把问题转为最大流问题，建图是一个难点。巧妙的建图可以把点的数量减少，从而减少时间复杂度。有一个文档叫网络流建模汇总，做得非常好。
题目链接http://www.cnblogs.com/Potato-lover/category/611621.html
1、判断满流
3572 Task Schedule
2883 kebab
2、二分+最大流
传送门：
3、最短路+最大流
3416 Marriage Match IV
二、费用流
一般情况下都是求最大流条件下的最小费用。
算法： 连续最短路算法。
时间复杂度O（C*k*m），C是最终的流量，k*m就是SPFA算法的时间复杂度。
1 const int N =1010, M=50010,INF=0x3f3f3f3f; 2 struct node 3 { 4 int to, next, c ,f;//c是容量，f是费用 5 }edge[M]; 6 int head[N],dis[N],load[N],p[N]; 7 bool vis[N]; 8 int tot,flow,cost; 9 bool spfa(int S, int E,int n) 10 { 11 int que[N*10],qout,qin; 12 memset(vis,0,sizeof(vis)); 13 memset(load,-1,sizeof(load)); 14 memset(p,-1,sizeof(p)); 15 for(int i=0;i<=n;i++) 16 dis[i]=INF; 17 qin=qout=0; 18 que[qin++]=S; 19 dis[S]=0; 20 vis[S]=1; 21 while(qin!=qout) 22 { 23 int u=que[qout++]; 24 vis[u]=0; 25 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 26 { 27 if(edge[i].c) 28 { 29 int v=edge[i].to; 30 if(dis[v]-dis[u]>edge[i].f) 31 { 32 dis[v]=dis[u]+edge[i].f; 33 p[v]=u; 34 load[v]=i; 35 if(!vis[v]) 36 { 37 vis[v]=1; 38 que[qin++]=v; 39 } 40 } 41 } 42 } 43 } 44 if(dis[E]==INF) return 0; 45 return 1; 46 } 47 void MCF(int S, int E,int n) 48 { 49 int u,mn; 50 flow=cost=0; 51 while(spfa(S,E,n)) 52 { 53 u=E; mn=INF; 54 while(p[u]!=-1) 55 { 56 mn=min(edge[load[u]].c, mn); 57 u=p[u]; 58 } 59 u=E; 60 while(p[u]!=-1) 61 { 62 edge[load[u]].c-=mn; 63 edge[load[u]^1].c+=mn; 64 u=p[u]; 65 } 66 cost+=dis[E]*mn; 67 flow+=mn; 68 } 69 } 70 void addedge(int a,int b,int c,int d) 71 { 72 edge[tot].to=b;edge[tot].c=c;edge[tot].f=d; 73 edge[tot].next=head[a];head[a]=tot++; 74 edge[tot].to=a;edge[tot].c=0;edge[tot].f=-d; 75 edge[tot].next=head[b];head[b]=tot++; 76 } 77 void init() 78 { 79 tot=0; 80 memset(head,-1,sizeof(head)); 81 }
题目链接：http://www.cnblogs.com/Potato-lover/category/615756.html
三、有上下界的网络流
已经做过总结：http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/4002823.html