线性回归、Logistic回归、Softmax回归

线性回归（Linear Regression）

1. 什么是回归？                   

给定一些数据，{（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn） }，x的值来预测y的值，通常地，y的值是连续的就是回归问题，y的值是离散的就叫分类问题。

高尔顿的发现，身高的例子就是回归的典型模型。

1. 回归分为线性回归（Linear Regression）和Logistic 回归。

线性回归可以对样本是线性的，也可以对样本是非线性的，只要对参数是线性的就可以，所以线性回归能得到曲线。

1. 线性回归的目标函数？

（1）

为了防止过拟合，将目标函数增加平方和损失：

（2）

增加了平方和损失，是2次的正则，叫L2-norm，有个专有名字：Ridge。【岭回归】

也可以增加绝对值损失，叫L1-norm，也有个专有名字：Lasso。

都假定参数θ服从高斯分布。

1. 目标函数的推导？

以极大似然估计解释最小二乘。过程如下：

（3）

1. θ的解析式？

一句话：目标函数对θ求偏导，再求驻点。

防止过拟合，加入λ扰动：本质是L2-norm

1. 梯度下降算法？

梯度下降得到得是局部最小值，而不是全局最小值。

SGD随机梯度下降的优点？

1. 速度快
2. 往往能跳出局部最小值
3. 适合于在线学习

由于线性回归的目标函数是凸函数，所以在这个地方用梯度下降得到的就是全局最小值。

沿着负梯度方向迭代，更新后的θ会使得J（θ）更小。

注意：这里是对某一个样本，对θj求偏导。

每一个样本都对此时的θj求偏导。

注意：梯度是矢量，既有方向，又有值。例如，在二维空间中的表现为斜率，当斜率为1时，能想象方向，1不就是它的值吗？厉害了，竟然现在才明白过来。

梯度下降：（又称批量梯度下降batch gradient descent）

得到所有样本后，再做梯度下降。

随机梯度下降：（stochastic gradient descent）

来一个样本就进行梯度下降，来一个样本就进行梯度下降，适合于在线学习。

还有一个二者的折衷：

mini-batch:

攒够若干个做一次批梯度下降，若干个样本的平均梯度作为下降方向。

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LR（Logistic Regression）Logistic回归

广义线性模型（General Linear Regression  GLR）

1.Logistic回归的损失函数？

负对数似然NLL。

Softmax回归是Logistic回归的多分类情况。

沿着似然函数正梯度上升

这个图很能理解线性回归和LR回归之间的关系。

LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。

1. 提到Logistic回归，首先要说他跟线性回归的联系：其实就是被Logistic方程归一化的线性回归。将预测的输出映射到0,1之间。以概率判断类别，大于0.5，判为一类，小于0.5判为一类。
2. Logistic 方程/Sigmoid 函数，大概长这样。

概率分布函数：

似然函数：

对数似然：

对θj求偏导：

沿着梯度上升。梯度上升也行，梯度下降也对。

注意：线性回归里面求损失函数的最小值得时候用到了梯度下降算法。

一定注意，那个是求损失函数的最小值，越小越好，当然用下降；而在这里，要求对数似然函数的最大值，则需要沿着梯度上升，越大越好。到最后得到极大似然估计值θ，那么学到的Logistic回归模型就是：

一定注意，这两次用梯度的目的不同，一次是为了损失值最小，一次是为了似然值最大，一个下降，一个上升！

Logistic的损失函数：

负对数似然损失函数NLL。

可以很好的解释。

常见的损失函数

机器学习或者统计机器学习常见的损失函数如下：

1.0-1损失函数 （0-1 loss function）

 

2.平方损失函数（quadratic loss function)

 

3.绝对值损失函数(absolute loss function)

L(Y,f(x))=|Y−f(X)| 

4.对数损失函数（logarithmic loss function) 或对数似然损失函数(log-likehood loss function)

 

逻辑回归中，采用的则是对数损失函数。如果损失函数越小，表示模型越好。

说说对数损失函数与平方损失函数

在逻辑回归的推导中国，我们假设样本是服从伯努利分布(0-1分布)的，然后求得满足该分布的似然函数，最终求该似然函数的极大值。整体的思想就是求极大似然函数的思想。而取对数，只是为了方便我们的在求MLE(Maximum Likelihood Estimation)过程中采取的一种数学手段而已。

全体样本的损失函数可以表示为：

这就是逻辑回归最终的损失函数表达式。

Logistic 回归的总结：

优点：方法简单、容易实现、效果良好、易于解释

特征选择很重要：人工选择，随机森林、PCA、LDA

梯度下降算法是参数优化的重要手段，尤其是SGD。（适用于在线学习，能挑出局部极小值。）

Softmax回归

Logistic回归的推广，概率计算公式：

 

 

 

本章总结：

对于线性回归，求解参数θ即可，可以用解析解的方法求解，也可以用梯度下降的方式求解。

对于Logistic回归和Softmax回归，推导及求解方式相同。基本遵循以下步骤：

1. 给出分类概率函数
2. 求累加的似然函数
3. 转换为对数似然函数求驻点
4. 利用梯度下降法求解。