回归系列之L1和L2正则化

机器学习监督算法的基本思路是 让拟合的模型尽量接近真实数据， 换句更通俗的话, 要让我们的模型尽量简单又能很好的反应已知数据之间关系。在这个贴近的过程可能存在两个截然相反的问题：过拟合和拟合不够。 拟合不够是模型预测值与真实值之间误差较大，上篇文章中提到梯度下降就是讨论解决问题（求损失函数最小）。 而正则化则是探讨过拟合的问题（当然正则化还能改善ill-posed(condition)等问题，本文不详细论述）， 或者说是让模型更简单的方法。在详细讨论正则化之前，先了解相关数学基础知识。

一、数学基础

1. 范数

范数是衡量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量以长度或大小。范数的一般化定义：对实数p>=1， 范数定义如下：

 

范数公式定义

L1范数
当p=1时，是L1范数，其表示某个向量中所有元素绝对值的和。
L2范数
当p=2时，是L2范数， 表示某个向量中所有元素平方和再开根， 也就是欧几里得距离公式。

2.拉普拉斯分布

如果随机变量的概率密度函数分布为:

 

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那么它就是拉普拉斯分布。其中，μ 是数学期望，b > 0 是振幅。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度为 1/2 的指数分布。

 

拉普拉斯概率密度函数

3.高斯分布

又叫正态分布，若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：
X∼N(μ,σ2),
则其概率密度函数为:

 

高斯分布概率密度函数

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

 

 

还有涉及极大似然估计、概率论相关的先验和后验相关概率， 为了控制篇幅， 本文就不详细介绍， wiki百科和百度百科都讲得很清楚。

二、正则化解决过拟合问题

正则化通过降低模型的复杂性， 达到避免过拟合的问题。 正则化是如何解决过拟合的问题的呢？从网上找了很多相关文章， 下面列举两个主流的解释方式。
原因1：来自知乎上一种比较直观和简单的理解， 模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点， 导致模型函数如下图，处于一种动荡的状态， 每个点的到时在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

 

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而加入正则能抑制系数过大的问题。如下公式， 是岭回归的计算公式。

 

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如果发生过拟合， 参数θ一般是比较大的值， 加入惩罚项后， 只要控制λ的大小，当λ很大时，θ1到θn就会很小，即达到了约束数量庞大的特征的目的。

原因二：从贝叶斯的角度来分析， 正则化是为模型参数估计增加一个先验知识，先验知识会引导损失函数最小值过程朝着约束方向迭代。 L1正则是Laplace先验，L2是高斯先验。整个最优化问题可以看做是一个最大后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息，损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积即对应贝叶斯最大后验估计。

给定训练数据, 贝叶斯方法通过最大化后验概率估计参数θ：

 

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说明：P(θ)是参数向量θ的先验概率。

下面我们从最大后验估计的方式， 推导下加入L1和L2惩罚项的Lasso和岭回归的公式。
首先我们看下最小二乘公式的推导（公式推导截图来着知乎大神）

 

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这个是通过最大似然估计的方法， 推导出线性回归最小二乘计算公式。

假设1： w参数向量服从高斯分布

 

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最终的公式就是岭回归计算公式。与上面最大似然估计推导出的最小二乘相比，最大后验估计就是在最大似然估计公式乘以高斯先验， 这里就理解前面L2正则就是加入高斯先验知识。

假设2： θ参数服从拉普拉斯分布

 

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最终的公式就是Lasso计算公式。与上面最大似然估计推导出的最小二乘相比，最大后验估计就是在最大似然估计公式乘以拉普拉斯先验， 这里就理解前面L1正则就是加入拉普拉斯先验知识。

三、 L1和L2正则化的区别

1. L2 regularizer ：使得模型的解偏向于 norm 较小的 W，通过限制 W 的 norm 的大小实现了对模型空间的限制，从而在一定程度上避免了 overfitting 。不过 ridge regression 并不具有产生稀疏解的能力，得到的系数 仍然需要数据中的所有特征才能计算预测结果，从计算量上来说并没有得到改观。
2. L1 regularizer ： 它的优良性质是能产生稀疏性，导致 W 中许多项变成零。 稀疏的解除了计算量上的好处之外，更重要的是更具有“可解释性”。

参考文档
正则化理解(一) http://www.voidcn.com/blog/shenxiaoming77/article/p-5011766.html
用正则化(Regularization)来解决过拟合 http://www.cnblogs.com/ooon/p/4964441.html
LR正则化与数据先验分布的关系 https://www.zhihu.com/question/23536142
最大似然估计和最小二乘法怎么理解？ https://www.zhihu.com/question/20447622

作者：wujustin
链接：https://www.jianshu.com/p/a47c46153326
来源：简书
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