树的基本概念

2.1树

2.1.1树（Tree）的定义和性质

n（n>=0）个节点构成的有限集合；当n=0时，称为空树。

对于任何一刻非空树，它具备以下性质：

• 树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用r表示；
• 其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集合T1、T2...Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树”【递归思想】。
• 子树是不相交的
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
• 一棵N个结点的树有N-1条边

2.1.2树的基本术语

• 结点的度（Degree）：结点的子树个数
• 树的度：树的所有结点中最大的度数
• 叶节点（Leaf）：度为0的结点
• 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
• 子结点（Child）：若 A 结点是 B 结点的父结点，则称 B 结点是 A 结点的子结点，也称孩子结点
• 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各个结点彼此是兄弟结点
• 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1、n2...nk，路径所包含边的个数为路径长度
• 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点
• 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙
• 结点的层次（Level）：规定根结点在 1 层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加一
• 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度

2.1.3树的表示

儿子-兄弟表示法

• Element：结点的值
• First Child：指向第一个儿子
• Next Sibling：指向兄弟

二叉树表示法

• Element：结点的值
• Left：指向左子树
• Right：指向右子树

2.2二叉树

2.2.1二叉树（Binary Tree）的定义和性质

• 一个有穷的结点集合，可为空；若不为空，则他用根结点和称为其左子树T_L和右子树T_R的两个不相交二叉树组成。
• 五种具体形态：∅和以下四种

  

• 二叉树的子树有左右之分

2.2.2特殊二叉树

（1）斜二叉树

（2）完美/满二叉树：两个子树；叶结点对齐

 （3）完全二叉树

有 n 个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为 i（1 ≤ i ≤ n）结点与满二叉树中编号为 i 结点在二叉树中位置相同

2.2.3二叉树的几个重要性质

• 一个二叉树第i层的最大结点数为2^_i-1，i>=1
• 深度为k的二叉树有最大结点总数为2^k-1，k>=1
• 对于任意非空二叉树T，若n₀表示叶结点的个数，n₂是度为2的非叶结点的个数，那么n₀=n₂+1（证明：利用总结点个数和总边数的关系）。

 2.2.4二叉树的存储结构

顺序存储结构（将二叉树看成是完全二叉树，没有结点的地方空出来）

• 非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 ⌊i/2⌋（向下取整）
• 结点（序号为 i）的左孩子结点的序号是 2i（若 2 i ≤ n，否则没有左孩子
• 结点（序号为 i）的右孩子结点的序号是 2i+1（若 2 i +1 ≤ n，否则没有右孩子

链表存储

• Element：结点的值
• Left：指向左子树
• Right：指向右子树

typedef struct TreeNode *BinTree;
struct TreeNode{
    Element Data;  // 存值 
    BinTree Left;    // 左儿子结点 
    BinTree Right;   // 右儿子结点 
}