你的背包 背到现在还没烂
却成为我身体另一半
千金不换 它已熟悉我的汗
它是我肩膀上的指环......
刚学的背包入门问题：
0-1背包问题：有n种物品，每种只有一个，第i种物品的体积V[i]，重量W[i]。选一些物品撞到一个容量为C的背包，使得背包内物体在总体积不超过C的前提下重量尽量大。
用s[i][j]表示把前i个物品撞到容量为j的背包中的最大总重量，容易得出状态转移方程.
1、假如不放入，那么总价值等于s[i-1][j]； 2、假如放入，那么容积j可以看成两部分： 第一部分的容积是j-V[i] ，用于装前i-1件物品； 第二部分的容积是V[i]，用于装第i件物品； 此时的总价值是s[i-1][j-V[i]] + w[i]； 3、s[i][j]的值就是上面两种情况中较大的那一个.
s[i][j] = max(s[i-1][j], s[i-1][j-V[i]] + W[i]), 答案就是s[n][C]
1 for (i = 1; i <= n; ++i) 2 { 3 for (j = 0; j < V[i]; ++j) 4 s[i][j] = s[i-1][j]; 5 for (j = V[i]; j <= C; ++j) 6 s[i][j] = max(s[i-1][j], s[i-1][j-V[i]] + W[i]); 7 }
用滚动数组优化可以把数组s变成一维的
1 memset(f, 0, sizeof(f)); 2 for (i = 1; i <= n; ++i) 3 { 4 for (j = C; j >= 0; --j) 5 s[j] = max{s[j], s[j-V[i]]+W[i]}; 6 }
关于初始化的问题：
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1，可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的
for i=1..N for v=V..0
可以改成
for i=1..n bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]} for v=V..bound
这对于V比较大时是有用的。