割点的概念
在无向连通图中,如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉,图就不再连通,那么这个点就叫做割点(cut vertex / articulation point)。
例如,在下图中,0、3是割点,因为将0和3中任意一个去掉之后,图就不再连通。如果去掉0,则图被分成1、2和3、4两个连通分量;如果去掉3,则图被分成0、1、2和4两个连通分量。
怎么求割点
Tarjan算法
可以使用Tarjan算法求割点(注意,还有一个求连通分量的算法也叫Tarjan算法,与此算法类似)。(Tarjan,全名Robert Tarjan,美国计算机科学家。)
首先选定一个根节点,从该根节点开始遍历整个图(使用DFS)。
对于根节点,判断是不是割点很简单——计算其子树数量,如果有2棵即以上的子树,就是割点。因为如果去掉这个点,这两棵子树就不能互相到达。
对于非根节点,判断是不是割点就有些麻烦了。我们维护两个数组dfn[]和low[],dfn[u]表示顶点u第几个被(首次)访问,low[u]表示顶点u及其子树中的点,通过非父子边(回边),能够回溯到的最早的点(dfn最小)的dfn值(但不能通过连接u与其父节点的边)。对于边(u, v),如果low[v]>=dfn[u],此时u就是割点。
但这里也出现一个问题:怎么计算low[u]。
假设当前顶点为u,则默认low[u]=dfn[u],即最早只能回溯到自身。
有一条边(u, v),如果v未访问过,继续DFS,DFS完之后,low[u]=min(low[u], low[v]);
如果v访问过(且u不是v的父亲),就不需要继续DFS了,一定有dfn[v]<dfn[u],low[u]=min(low[u], dfn[v])。
//以上摘自割点(Tarjan算法)
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{
int nxt,mark;
}pre[200010];
int n,m,idx,cnt,tot;
int head[100010],DFN[100010],LOW[100010];
bool cut[100010];
void add (int x,int y)
{
pre[++cnt].nxt=y;
pre[cnt].mark=head[x];
head[x]=cnt;
}
void tarjan (int u,int fa)
{
DFN[u]=LOW[u]=++idx;
int child=0;
for (int i=head[u];i!=0;i=pre[i].mark)
{
int nx=pre[i].nxt;
if (!DFN[nx])
{
tarjan (nx,fa);
LOW[u]=min (LOW[u],LOW[nx]);
if (LOW[nx]>=DFN[u]&&u!=fa)
cut[u]=1;
if(u==fa)
child++;
}
LOW[u]=min (LOW[u],DFN[nx]);
}
if (child>=2&&u==fa)
cut[u]=1;
}
int main()
{
memset (DFN,0,sizeof (DFN));
memset (head,0,sizeof (head));
scanf ("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b;
scanf ("%d%d",&a,&b);
add (a,b);
add (b,a);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
if (DFN[i]==0)
tarjan (i,i);
for (int i=1;i<=n;i++)
if (cut[i])
tot++;
printf ("%d
",tot);
for (int i=1;i<=n;i++)
if (cut[i])
printf ("%d ",i);
return 0;
}