【20190710】简单题

题目

这是一道提交答案题

给出一个(n)个点(m)条边的无向图

可以删除(K)条边

询问一个删边方案使得最短路的最大值

题解

TAT我一整天的时光啊．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

• data 1,2,3

  测试点范围较小

  可以直接做spfa找最短路，接着删除1~n最短路径上的某条边，重复多次直到不能删除

  选边的时候需要先随机一个扰动概率P，对不同的点调整一下P多跑几次即可

  #include<bits/stdc++.h>
  #define inf 0x3f3f3f3f
  #define ld double
  using namespace std;
  const int N=11000;
  int n,m,K,dis[N],vis[N],del[N<<1],hd[N],o,Ans[N],ans,tot,pre[N];
  queue<int>q;
  struct Edge{int u,v,nt,w,id;}E[N<<1];
  void adde(int u,int v,int w,int id){
  	E[o]=(Edge){u,v,hd[u],w,id};hd[u]=o++;
  	E[o]=(Edge){v,u,hd[v],w,id};hd[v]=o++;
  }
  int spfa(){
  	for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=inf;
  	dis[1]=0;vis[1]=1;q.push(1);
  	while(!q.empty()){
  		int u=q.front();q.pop();
  		vis[u]=0;
  		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt)if(!del[i]){
  			int v=E[i].v;
  			if(dis[v]>dis[u]+E[i].w){
  				dis[v]=dis[u]+E[i].w;pre[v]=i;
  				if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
  			}
  		}
  	}
  	if(dis[n]==inf)return -1;
  	if(dis[n]>ans){
  		ans=dis[n];tot=0;
  		for(int i=1;i<=m;++i)Ans[i]=0;
  		for(int i=0;i<o;i+=2)if(del[i]){
  			Ans[E[i].id]=1;
  			tot++;
  		}
  	}
  	return dis[n];
  }
  int calc(ld P){
  	static int top,sta[N];
  	int res=K,mxp=0;
  	for(int i=0;i<o;i++)del[i]=0;
  	while(res){
  		int now=spfa();if(!~now)break;
  		mxp=max(now,mxp);
  
  		top=0;for(int u=n;u!=1;u=E[pre[u]].u)sta[++top]=pre[u];
  		random_shuffle(sta+1,sta+top+1);
  		
  		for(int I=1;I<=top;++I){
  			int i=sta[I];
  			if(del[i]||rand()<=RAND_MAX*P)continue;
  			del[i]=del[i^1]=1;res--;
  			break;
  		}
  		
  	}
  	int now=spfa();
  	if(~now)mxp=max(mxp,now);
  	return mxp;
  }
  void solve(){
  	ld P=0.66666666666;
  	for(int i=0;;++i){
  	//	P+=1.0/100000;
  		calc(P);
  		//calc(P);
  		if(ans>=189626)break;
  		cerr<<i<<" "<<ans<<endl;
  	}
  }
  int main(){
  	srand(time(NULL));
  	freopen("shortest4.in","r",stdin);
  //	freopen("shortest2.out","w",stdout);
  	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
  	for(int i=1;i<=n;++i)hd[i]=-1;
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		int u,v,w;
  		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
  		adde(u,v,w,i);
  	}
  	solve();
  	cerr<<ans<<endl;
  	cout<<tot<<endl;
  	for(int i=1;i<=m;++i)if(Ans[i])printf("%d
  ",i);
  	return 0;
  }
  

• data 4,5

  data 4 (n le 20) 直接状压(dp)，时间复杂度(O(2^n n^2))

  data 5 每20个点组成一块，套用data 4的dp

  #include<bits/stdc++.h>
  #define mk make_pair
  #define inf 0x3f3f3f3f
  using namespace std;
  const int N=20,M=1000010;
  int n,m,K,w[N][N],e[N][N],vis[M],tot,sum;
  int f[N][1<<N],h[N][1<<N],V,E;
  pair<int,int>g[N][1<<N];
  void get_path(int x,int y){
  	for(;x;){
  		int tx,ty;
  		vis[h[x][y]]=1;
  		tx=g[x][y].first;
  		ty=g[x][y].second;
  		swap(tx,x);swap(ty,y);
  	}
  }//
  void solve(){
  	for(int i=0;i<20;++i)
  	for(int j=0;j<20;++j)w[i][j]=-inf,e[i][j]=-1;
  	
  	for(++E;E<=m;++E){
  		int u,v,x;
  		scanf("%d%d%d",&u,&v,&x);
  		if(v>V+20){sum+=x;vis[E]=1;break;}
  		u-=V+1;v-=V+1;
  		if(w[u][v]<x)w[u][v]=w[v][u]=x,e[u][v]=e[v][u]=E;
  	}
  	
  	for(int i=0;i<1<<20;++i)
  	for(int j=0;j<20;++j)f[j][i]=-inf;
  	f[0][1]=0;
  	
  	for(int i=1;i<1<<20;++i)
  	for(int j=0;j<20;++j)if(i>>j&1)
  	for(int k=0;k<20;++k)if(!(i>>k&1)){
  		int t=i^(1<<k);
  		if(f[k][t]<f[j][i]+w[j][k]){
  			f[k][t]=f[j][i]+w[j][k];
  			h[k][t]=e[j][k];
  			g[k][t]=mk(j,i);
  		}
  	}
  
  	int pos=0;
  	for(int i=1;i<1<<20;++i)if(f[19][pos]<f[19][i])pos=i;
  	sum+=f[19][pos];
  	cerr<<sum<<endl;
  	get_path(19,pos);
  	
  	V+=20;
  }
  int main(){
  	freopen("shortest5.in","r",stdin);
  	freopen("shortest5.out","w",stdout);
  	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
  	for(int i=0;i<n;i+=20)solve();
  	tot=m;for(int i=1;i<=m;++i)tot-=vis[i];
  	cout<<tot<<endl;
  	for(int i=1;i<=m;++i)if(!vis[i])printf("%d
  ",i);
  	return 0;
  }
  

• data 6,7

  data 6,7也是很多块，每个块10个点，10/20条边

  可以先((2^{20}))暴力枚举删除的边做spfa(由于删边多的时候路径少所以速度不慢)

  由于删边数有限制，所以dp处理，时间复杂度：(O( frac{n}{10}(2^{20} imes SPFA + K^2)))

  #include<bits/stdc++.h> 
  #define mk make_pair
  #define inf 0x3f3f3f3f
  using namespace std;
  const int N=21,M=1000010;
  int n,m,K,B,vis[N],dis[N],o,hd[N],tot,sum,nV,nE,del[N<<1];
  int f[101][1001],g[101][1001],h[101][1001],val[N],pos[N],Ans[M];
  struct Edge{int v,nt,w;}E[N<<1];
  void adde(int u,int v,int w){
  	E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;
  	E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++;
  }
  queue<int>q;
  int spfa(){
  	for(int i=1;i<=10;++i)dis[i]=inf;
  	dis[1]=0;vis[1]=1;q.push(1);
  	while(!q.empty()){
  		int u=q.front();q.pop();
  		vis[u]=0;
  		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt)if(!del[i]){
  			int v=E[i].v;
  			if(dis[v]>dis[u]+E[i].w){
  				dis[v]=dis[u]+E[i].w;
  				if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
  			}
  		}
  	}
  	return dis[10]==inf?-inf:dis[10];
  }
  void get_path(int x,int y){
  	if(!x)return ;
  	int S=g[x][y],base=(x-1)*(B+1);
  	for(int i=0;i<B;++i)if(S>>i&1)Ans[base+i+1]=1,tot++;
  	get_path(x-1,h[x][y]);
  }
  void solve(int I){
  	o=0;for(int i=1;i<=10;++i)hd[i]=-1;
  	
  	int con=0;
  	for(++nE;nE<=m;++nE){
  		int u,v,w;
  		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
  		if(v>nV+10){con=w;break;}
  		u-=nV;v-=nV;adde(u,v,w);
  	}
  	
  	for(int i=0;i<=B;++i)val[i]=-inf;
  	for(int i=0;i<1<<B;++i){
  		for(int j=0;j<o;++j)del[j]=i>>(j>>1)&1;
  		int tmp=spfa();	
  		int cnt=__builtin_popcount(i);
  		if(val[cnt]<tmp){val[cnt]=tmp;pos[cnt]=i;}
  	}
  
  	for(int i=0;i<=K;++i)
  	for(int j=0;j<=i&&j<=B;++j){
  		if(f[I][i]<f[I-1][i-j]+val[j]+con){
  			f[I][i]=f[I-1][i-j]+val[j]+con;
  			g[I][i]=pos[j];h[I][i]=i-j;
  		}
  	}
  
  	cerr<<f[I][K]<<endl;	
  }
  int main(){
  	freopen("shortest7.in","r",stdin);
  	freopen("shortest7.out","w",stdout);
  	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);B=(m-99)/(n/10);
  	for(int i=1;i<=100;++i)
  	for(int j=0;j<=K;++j)f[i][j]=-inf;
  	int I;for(I=1;nV<n;++I,nV+=10)solve(I);
  	get_path(--I,K);
  	cout<<tot<<endl;
  	for(int i=1;i<=m;++i)if(Ans[i])printf("%d
  ",i);
  	return 0;
  }//
  

• data 8

  是个(100 imes 100)的网格图，边权为１

  • 证明(2n imes2n)的网格图不存在一条((1,1) o(2n,2n))的哈密顿路径

    黑白染色后(1,1)和(2n,2n)同色，这说明如果路径存在，黑!=白，矛盾

  可以用一下方式构造一个长度为9998的路径

  • 假设构造好了 (i imes i) ，现在在 ((i,ｉ)) ，并且长度为 (i^2 - 2)
  • 可以没有遗漏地蛇行走到 ((i+1,i+1)) ，具体细节见代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mk make_pair
using namespace std;
const int N=20010,M=110;
int n,m,K,B,tx,ty,vis[N],id[M][M],tot;
map<pair<int,int>,int>mp;
void put(int x,int y){
	cerr<<x<<" "<<y<<endl;
	if(x>y)swap(x,y);
	vis[mp[mk(x,y)]]=1;tot--;
}
int main(){
	freopen("shortest8.in","r",stdin);
	freopen("shortest8.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		mp[mk(u,v)]=i;
	}
	B=sqrt(n+1);
	for(int i=1;i<=B;++i)
	for(int j=1;j<=B;++j){
		id[i][j]=(i-1)*B+j;
	}
	tot=m;
	put(id[1][1],id[1][2]);
	put(id[1][2],id[tx=2][ty=2]);
	for(int i=2;i<B;i+=2){
		put(id[tx][ty],id[tx+1][ty]);
		for(tx++;ty>1;--ty)put(id[tx][ty],id[tx][ty-1]);
		put(id[tx][ty],id[tx+1][ty]);
		for(tx++;ty<=i;++ty)put(id[tx][ty],id[tx][ty+1]);
		for(;tx>1;--tx)put(id[tx][ty],id[tx-1][ty]);
		put(id[tx][ty],id[tx][ty+1]);
		for(++ty;tx<i+2;++tx)put(id[tx][ty],id[tx+1][ty]);
	}
	//cerr<<tx<<" "<<ty<<endl;
	cerr<<m-tot<<endl;
	cout<<tot<<endl;
	for(int i=1;i<=m;++i)if(!vis[i])printf("%d
",i);
	return 0;
}

• data 9

  (2 imes 1000)的网格图，边权不为１，一些边已经被删除

  一定不会往回走，直接(dp)即可，为了偷懒我直接拆点然后把上面的spfa拷过来了．．．．

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ld double
using namespace std;
const int N=4010;
int n,m,K,dis[N],vis[N],hd[N],o,Ans[N],tot,pre[N<<1];
queue<int>q;
struct Edge{int u,v,nt,w,id;}E[N<<1];
void add(int u,int v,int w,int id){E[o]=(Edge){u,v,hd[u],w,id};hd[u]=o++;}
int spfa(){
	for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=-inf;
	dis[1]=0;vis[1]=1;q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
			int v=E[i].v;
			if(dis[v]<dis[u]+E[i].w){
				pre[v]=i;
				dis[v]=dis[u]+E[i].w;pre[v]=i;
				if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
			}
		}
	}
	return dis[n];
}
int main(){
	srand(time(NULL));
	freopen("shortest9.in","r",stdin);
	freopen("shortest9.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
	for(int i=1;i<=n<<1;++i)hd[i]=-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)add(i,i+n,0,0);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if(u>v)swap(u,v);
		if(v!=u+1){
			add(v,u+n,w,i);
			add(u,v+n,w,i);
		}else add(u+n,v,w,i);
	}
	n<<=1;
	cerr<<spfa()<<endl;
	for(int i=n;i!=1;i=E[pre[i]].u)Ans[E[pre[i]].id]=1;
	tot=m;for(int i=1;i<=m;++i)tot-=Ans[i];
	cout<<tot<<endl;
	for(int i=1;i<=m;++i)if(!Ans[i])printf("%d
",i);
	return 0;
}

• data 10

  存在哈密顿回路

  图比较稀疏并且输出deg=3的点的个数可以发现多余的边，没有公共点!

  诶，竟然直接把两边都deg=3的边都删掉就可以出解了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10100;
int n,m,K,vis[N],cnt,fg,d[N];
struct edge{int u,v,w;}e[N];
vector<pair<int,int> >G[N];
stack<int>Ans;
void dfs(int u){
	if(fg)return;
	if(cnt==n&&u==n){fg=1;return;}
	for(auto  v : G[u])if(!vis[v.first]){
		cnt++;
		Ans.push(v.second);
		vis[v.first]=1;
		dfs(v.first);
		if(fg)return;
		vis[v.first]=0;
		Ans.pop();
		cnt--;
	}
}
int main(){
	freopen("shortest10.in","r",stdin);
	freopen("shortest10.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		e[i]=(edge){u,v,w};
		//G[u].push_back(make_pair(v,i));
		//G[v].push_back(make_pair(u,i));
		d[u]++;d[v]++;
	}
	//d[1]++;d[n]++;
	/*int mxd=0,mxc=0;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(mxd<d[i])mxd=d[i],mxc=1;
		else if(mxd==d[i])mxc++;
	}
	cerr<<mxd<<" "<<mxc<<endl;
	*/
	//cnt=1;dfs(1);
	//int tot=m;
	//for(int i=1;i<n;++i)vis[Ans.top()]=1,Ans.pop(),tot--;
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=m;++i)if(d[e[i].u]==3&&d[e[i].v]==3){
		tot++,vis[i]=1;
		d[e[i].u]--;d[e[i].v]--;
	}
	printf("%d
",tot);
	for(int i=1;i<=m;++i)if(vis[i])printf("%d
",i);
	return 0;
}