bzoj3434[wc2014]时空穿梭

题目描述 

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输入格式

第一行包含一个正整数T，表示有T组数据求解
每组数据包含两行，第一行包含两个正整数N,C(c>=2),分别表示空间的
维数和需要选择的暂停点个数
第二行包含N个正整数，依次表示M1,M2....Mn

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输出格式

有T行，每行一个非负整数，依次对应每组数据的答案。

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• 题解:

  • 一个$n$维向量$(p_{1},p_{2}, cdots ,p_{n})$上的整点个数为：$gcd(p_{1},p_{2}, cdots , p_{n})+1$
  • 可以枚举这个n维向量，考虑到向量在空间里面自由移动也是不同的方案：
  • $ans = sum^{m_{1}}_{p_{1}} sum^{m_{2}}_{p_{2}} cdots sum^{m_{n}}_{p_{n}}(m_{1}-p_{1})(m_{2}-p_{2}) cdots (m_{n}-p_{n}) C_{gcd(p1,p2, cdots ,p_{n}) - 1}^{c - 2} $
  • 枚举因子，反演得：
  • $ sum_{d} C_{d-1}^{c-2} sum_{g} mu(g) sum_{p_{1}}^{ lfloor frac{m_{1}}{gd} floor} sum_{p_{2}}^{ lfloor frac{m_{2}}{gd} floor}  cdots  sum_{p_{n}}^{ lfloor frac{m_{n}}{gd} floor} (m_{1}-p_{1}gd) (m_{2}-p_{2}gd) cdots (m_{n}-p_{n}gd)  $
  • $ = sum_{d} sum_{g|d} C_{d-1}^{c-2} mu(frac{d}{g})  sum_{p_{1}}^{lfloor frac{m_{1}}{d} floor} sum_{p_{2}}^{lfloor frac{m_{2}}{d} floor} cdots sum_{p_{n}}^{lfloor frac{m_{n}}{d} floor} (m_{1}-p_{1}d)(m_{2}-p_{2}d) cdots (m_{n}-p_{n}d)$
  • 等差数列求和：
  • $ = sum_{d} sum_{g|d} C_{d-1}^{c-2} mu(frac{d}{g}) ( Pi_{i=1}^{n} 2^{-1} lfloor  frac{m_{i}}{d} floor (2m_{i} - (lfloor frac{m_{i}}{d} floor  + 1 ) d ) )$
  • 其中2^{-1}表示2的逆元；
  • 到这里是基本的化简；
  • 考虑下底分块，由于$Pi$的部分含有d，所以需要把考虑成一个关于$d$的多项式$f$进一步化简：
  • $ = sum_{d} sum_{g|d} C_{d-1}^{c-2} mu(frac{d}{g})  (Pi_{i=1}^{n} 2^{-1} lfloor  frac{m_{i}}{d} floor )  sum_{j=0}^{n}f_{j}d^{j}$
  • $ = sum_{d} ( Pi_{i=1}^{n} 2^{-1} lfloor frac{m_{i}}{d} floor ) sum_{j=0}^{n} f_{j} d^{j} sum_{g|d} C_{d-1}^{c-2} mu(frac{d}{g})  $ 
  • 注意到分块后$lfloor frac{m_{i}}{d} floor $是一个常数，所以$f_{j}$及其以前的部分全都是常数的，后面的部分只和$d$有关，预处理前缀和即可；
  • 复杂度：$O(n^{3}sqrt{m}    +    cnm + cmlogm )$

  • #include<bits/stdc++.h>
    #define il inline 
    #define mod 10007
    #define iv2 5004
    using namespace std;
    const int N=15,M=100010,C=21;
    int T,n,c,m[N],g[C][N][M],a1[N],a2[N],f[N],fac[M],inv[M],u[M],vis[M],pr[M],pt;
    il int min(int x,int y){if(x<y)return x;else return y;} 
    il int get(int x,int y){
        if(x<mod&&y<mod)return x<y?0:fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
        else return get(x/mod,y/mod)*get(x%mod,y%mod)%mod;
    }
    il int pw(int x,int y){
        int re=1;x%=mod;
        for(;y;y>>=1,x=x*x%mod){
            if(y&1)re=x*re%mod;
        }return re;
    }
    void pre(){
        for(int i=fac[0]=inv[0]=1;i<=1e5;++i){
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
            inv[i]=pw(fac[i],mod-2);
        }
        u[1]=1;
        for(int i=2;i<=1e5;++i){
            if(!vis[i])u[pr[++pt]=i]=-1;
            for(int j=1;j<=pt&&pr[j]*i<=1e5;++j){
                vis[i*pr[j]]=1;
                if(i%pr[j]==0){u[i*pr[j]]=0;break;}
                else u[i*pr[j]]=-u[i];
            }
        }
        for(int c=2;c<=20;++c)
        for(int i=1;i<=1e5;++i)if(u[i])
        for(int j=1;i*j<=1e5;++j){
            g[c][0][i*j]=(g[c][0][i*j]+u[i]*get(j-1,c-2))%mod;
        } 
        for(int c=2;c<=20;++c)
        for(int i=1;i<=11;++i)
        for(int j=1;j<=1e5;++j){
            g[c][i][j]=g[c][i-1][j]*j%mod;
        }
        for(int c=2;c<=20;++c)
        for(int i=0;i<=11;++i)
        for(int j=1;j<=1e5;++j){
            g[c][i][j]=(g[c][i][j]+g[c][i][j-1])%mod;
        }
    }
    void cal(int d){
        for(int i=0;i<=n;++i)a1[i]=a2[i]=0;
        a1[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int x=(m[i]/d+1)%mod,y=2*m[i]%mod;
            for(int j=0;j<=i;++j){
                a2[j+1]=-a1[j]*x%mod;
                a1[j]=(a1[j]*y%mod+a2[j])%mod;
            }
        }
        for(int i=0;i<=n;++i)f[i]=a1[i];
    }
    int solve(){
        int mn=1e5,re=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)mn=min(mn,m[i]);
        for(int i=1,lst;i<=mn;i=lst+1){
            int t1=1,t2=0;lst=1e5;
            for(int j=1;j<=n;++j){
                lst=min(lst,m[j]/(m[j]/i));
                t1=t1*(m[j]/i)%mod*iv2%mod;
            }
            cal(i);
            for(int j=0;j<=n;++j){
                t2=(t2+f[j]*(g[c][j][lst]-g[c][j][i-1])%mod)%mod;
            //    printf("%d
    ",(g[c][j][lst]-g[c][j][i-1]+mod)%mod);
            }
            re=(re+t1*t2%mod)%mod;
        }
        return re;
    }
    int main(){
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("bzoj3434.in","r",stdin);
        freopen("bzoj3434.out","w",stdout);
        #endif
        pre();
        scanf("%d",&T);
        while(T--){
            scanf("%d%d",&n,&c);
            for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&m[i]);
            printf("%d
    ",(solve()+mod)%mod);
        }
        return 0;
    }