这个定理是从吴崇试老师的数学物理方法课里看到的，表述如下：
有界的无穷（复数）序列至少有一个聚点。
序列的聚点定义为
给定序列 ${z_n}$，若存在复数 $z$，对于任意给定的 $varepsilon > 0$ 恒有无穷多个 $z_n$ 满足 $| z- z_n| < varepsilon$，则称 $z$ 为 ${z_n}$ 的一个聚点。
${z_n}$ 有聚点等价于 ${z_n}$ 有收敛子列。我们试图构造出 ${z_n}$ 的一个收敛子列。
先证明有界实数列满足 B-W 定理，即
有界实数列必有收敛子列。
证明：设序列 ${a_n}$ 都落在 $[a,b]$ 中，将 $[a,b]$ 等分成 $[a, (a+b)/2]$ 和 $[(a+b)/2, b]$，其中必有一个区间含有无穷多项 $a_n$，记此区间为 $I_1$，在 $I_1$ 中选择一项 $a_{i_1}$；再将 $I_1$ 等分成两份，取其中含有无穷多项 $a_n$ 者记做 $I_2$，在 $I_2$ 中选取一项 $a_{i_2}$ 使得 $i_2 > i_1$，如此进行下去。令 $I_n = [ l_n, r_n]$ ，则 ${l_n}$ 递增有界，${r_n}$ 递减有界，即二者都收敛；令 $l = lim_{n oinfty} l_n$，$r = lim_{n oinfty} r_n$；又 $lim_{n oinfty} r_n - l_n = lim_{n oinfty} (b-a)/2^n = 0 $，因而 $x = y$。又 $a_{i_n} in [l_n, r_n]$ ，由夹逼原理有 $lim_{n oinfty} a_{i_n} = x$，于是 ${a_{i_n}}$ 收敛。证毕。
再证明欧氏空间 $mathbb{R}^p$ 中的序列满足 B-W 定理，即
$mathbb{R}^p$ 中的有界序列必有收敛子列。
证明：对 $p$ 用归纳法。我们已经证明了 $p=1$ 时 B-W 定理成立。设 $p= k$ 时定理成立，给定 $mathbb{R}^{k+1}$ 中的有界序列 ${mathbf{a}_n}$，令 $mathbf{a}_n=(mathbf{x}_n, y_n)$，可以证明 ${mathbf{x}_n}$ 在 $mathbb{R}^k$ 中有界，${y_n}$ 在 $mathbb{R}$ 中有界。
取 ${mathbf{x}_n}$ 的一个收敛子列 ${mathbf{x}_{n_i}}$，记其极限为 $mathbf{x}$，再取 ${y_{n_i}}$ 的一个收敛子列 ${y_{n_{i_j}}}$，记其极限为 $y$，我们有 ${ mathbf{x}_{n_{i_j}} }$ 收敛于 $mathbf{x}$，于是 ${mathbf{a}_{n_{i_j}}}$ 收敛于 $(mathbf{x},y)$ 。证毕。
$mathbb{R}^2$ 与 $mathbb{C}$ 同构，所以原命题成立。