Longest Increasing Common Subsequence (LICS)

最长上升公共子序列（Longest Increasing Common Subsequence，LICS）也是经典DP问题，是LCS与LIS的混合。

Problem

求数列 a[1..n], b[1..m]的LICS的长度， a[], b[]数组的元素均为正整数。 

Solution

考虑如何定义DP状态，定义DP状态就是定义所谓的最优子问题（optimal subproblem），而DP状态要能转移，就是所谓最优子问题要具有重叠子结构。

将DP状态定义为

DP[i][j]：a[1..i], b[1..j]的以b[j]结尾的LICS的长度

状态转移方程为

DP[i][j] = DP[i-1][j],　　a[i] != b[j]

         = max{DP[i][k] : k<j, b[k] < b[j]} + 1,　　a[i] == b[j]

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上面的转移方程，时间复杂度为O(N^3), 空间复杂度为O(N^2)，都不能接受，必须优化。

先考虑时间优化，不难发现无法O(1)转移的是a[i]==b[j]的情况，我们考虑在转移的同时维护的这种情况所需要的那个最大值。

我们将转移过程写成两循环

　　for(i=1; i<=n; i++)

　　　　for(j=1; j<=m; j++)

　　　　　　dp[i][j]..

i在外层循环，内层循环时i不变。

我们将第二种情况下的转移方程该成 DP[i][j] = max{DP[i][k] : k<j, b[k]<a[i]} + 1, a[i] == b[j]

优化的方法就显而易见了，在每层内循环内维护 max{ DP[i][k] : k<j, b[k]<a[i] }。

　　for(i=1; i<=n; i++)

　　　　for(j=1, ma=0; j<=m; j++)

　　　　　　if(b[j]==a[i])

　　　　　　　　dp[i][j]=ma+1;

　　　　　　else{

　　　　　　　　dp[i][j]=dp[i-1][j];

　　　　　　　　if(a[i]>b[j])

　　　　　　　　　　ma=max(ma, dp[i][j]);

　　　　　　}

这样时间上就优化到O(N^2)

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再考虑空间优化，根据转移方程不难看出可用滚动数组

　　　　for(i=1; i<=n; i++)

　　　　　　for(j=1, ma=0; j<=m; j++)

　　　　　　　　if(a[i]==b[j])

　　　　　　　　　　dp[j]=ma+1;

　　　　　　　　else if(a[i]>b[j])

　　　　　　　　　　ma=max(dp[j], ma);

空间优化到O(N)

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不难看出DP的一切优化都建立在正确的转移方程之上，所以对于DP问题，写转移方程是最关键的一步。

LICS的O(N^2)的复杂度还是偏高的，不知这是否理论复杂度。