重新表述
环上有 $n$ 个非负整数，$n$ 是大于 1 的奇数。
每相邻两数之间插一块挡板，最初有 $n$ 块挡板。
相邻两挡板之间称为一段。最初有 $n$ 段。
每个数可以被染成白色或黑色，最初每个数都是白色的。
将题目描述的操作重新表述为：任选一段，将其中的数全染成黑色并将其两端的两块挡板抽走。
不断如此操作直到只剩一块挡板。此时 $n$ 个数成为一段，所有白色的数之和即是题目中所说的环上的最后一个数。
不变量
不难证明，每次操作过后，每一段内
- 总有奇数个数。
- 两端的数总是白色的。
- 相邻两白色的数之间总是隔着奇数个黑色的数。
可以证明，只有一块挡板且满足条件2和条件3的局面都是可以达成的最终局面。
转化
至此，原问题转化成：
任选环上紧挨着的两个数，在这两数之间把环剪开，得到一个数组。求数组的奇数位置上的数之和的最大值。
官方题解给出了一个简短的做法：
用输入的数组 $a_1, dots, a_n$ 构造一个新数组
$a_2, a_4, dots, a_{n-1}, a_1, a_3, dots, a_n, a_2, a_4, dots, a_{n-1}$
答案即此数组的长为 $frac{n + 1}{2}$ 的子段的和的最大值。