Panasonic Programming Contest 2020 Task E Three Substrings
题目链接
又是一道好题。
2020/3/15
这道题我没想到的一个点：对于两个串 $a, b$，如何快速判断 $b$ 相对于 $a$ 偏移 $k$ 是否可行？我只想到对二者重合的那一段逐个位置地判断。更好的方法是判断任意两个字符 $a_i, b_j$（$i= 0dots |a|, j = 0 dots |b|$）是否相容（a[i] == '?' || b[j] == '?' || a[i] == b[j]），若不相容则说明 $b$ 相对于 $a$ 偏移 $i - j$ 不可行。这样用 $|a| imes |b|$ 次判断就可以标记出哪些偏移量不可行。
ABC101D Snuke Number
题目。
这题太好了。怎么赞美都不为过。
ABC083D Wide Flip
ABC129F Takahashi's Basics in Education and Learning
Problem Statement
There is an arithmetic progression with $L$ terms: $s_0 , s_1 , s_2 , dots , s_{L − 1}$.
The initial term is $A$ , and the common difference is $B$. That is, $s_i = A + B i$ holds.
Consider the integer obtained by concatenating the terms written in base ten without leading zeros. For example, the sequence $3 , 7 , 11 , 15 , 19$ would be concatenated into $37111519$ . What is the remainder when that integer is divided by $M$?
Constraints
- All values in input are integers.
- 1 ≤ L , A , B < $10^{18}$
- 2 ≤ M ≤ $10^9$
- All terms in the arithmetic progression are less than $10^{18}$.
Solution
From official editorial.
Paraphrasing the problem as follows
- We have two integers $X$ and $s$ written in base 10. Initially, $ X= 0$, $s = A$.
- In one operation, $s$ is appended to $X$, then incrase $s$ by $B$.
- After $N$ operations, calculate the value of $X mod M$.
Denote the number of $d$-digit elements as $C_d$, $C_d$ can be easily obtained by subtracting the number of elements below $10^{d}$ from the number of elements below $10^{d-1}$.
The operation of concatenating $C_d$ elements with $d$ digits to the end of $X$ is equivalent to repeating $(X, s) mapsto (X imes 10d + s, s + B)$ $C_d$ times. And this operation can be reduced to a matrix product as follows.
egin{equation}
(X, s, 1) egin{pmatrix} 10^d & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & B & 1 end{pmatrix} = (X imes 10^d + s, s + B, 1)
end{equation}
Therefore, the $C_d$ power of this 3 × 3 matrix needs to be obtained quickly, and the result is obtained with $O(log C_d)$ time by the iterative square method.
If the above calculation is performed for $d = 1, 2, dots, 18$ in this order, the final value of $X mod M$ can be obtained quickly.
Japanese Student Championship 2019 Qualification Task C Cell Inversion
题目大意
$2N$ 个格子（cell）排成一行，从左到右编号。每个格子是黑色或白色。现要进行 $N$ 次操作。每次操作选择两个编号不同的格子将二者之间（包括二者）的所有格子的颜色翻转。每个格子只能被选择一次。问有多少种方案使得最后所有格子都是白色。结果模 $10^9+7$ 输出。
Observations
最终结果和操作顺序无关。即答案可表为 $M N!$，$M$ 是不计顺序的方案数。
用 $(l, r)$ 表示一次操作，$l < r$。
对于一个方案里的两次操作 $(l_1, r_1)$，$(l_2, r_2)$，若 $max(l_1, l_2) < min(r_1, r_2)$ 则 $(l_1, r_1),(l_2, r_2)$ 和 $(l_1, r_2), (l_2, r1)$ 效果相同。这意味着对于每个格子来说，真正重要的是它作为左端点还是作为右端点。用 $L, R$ 分别表示一个方案中左、右端点的集合。若两个方案的左右端点合集分别相等，则这两个方案等价。
一个格子作为左端点是效果是翻转了「它和前一格子是否同色 」，而作为右端点则翻转了「它和后一格子是否同色」。
对于相邻的两个格子，若他们同为左/右端点，则二者是否同色结论将翻转，若一为左端点，一为右端点，则二则是否同色结论保持不变。据此，我们可以看出，某个格子是作为左端点还是右端点是确定的，因为最左端的格子一定是作为左端点。
余下的问题就是求左右端点的配对方案数（即上文所说的 $M$），不表。
ABC128F Frog Jump
Analysis
Tenka1 Programmer Contest 2019 D [Three Colors](
https://atcoder.jp/contests/tenka1-2019/tasks/tenka1_2019_d)
题目大意
有 $n$ 个正整数 $a_1, a_2,dots, a_n$（$3le nle 300$，$1le a_i le 300$）。现在要把每个数涂成红，绿，蓝，三种颜色之一。将同色的数之和分别记作 $R,G,B$。试求使得 $R,G,B$ 是某三角形的三边长的涂色方案。结果模 $998244353$ 。
分析
这道题的正解是考虑不能构成三角形的涂色方案的数量。拿总方案数 $3^n$ 减去这个数量。
注意到 $R,G,B$ 三个数之和固定，将此和记作 $S$，即 $S = sum_{i = 1}^{n} a_i$ 。
$R,G,B$ 不能构成三角形的充要条件是 $R,G,B$ 中某个数大于等于 $ S/2$ 。
又注意到，当 $S$ 是奇数时，$S/2$ 不是整数，上述充要条件变为 $R,G,B$ 中某个数大于 $S/2$ 。
我们先来考虑 $R, G, B$ 三者中某个数大于 $S/2$ 的方案数。
注意到 $R,G,B$ 三者中最多有一个数可能大于 $S/2$ 。由于染色方案的对称性，我们不妨先考虑 $R > S/2$ 的染色方案数。我们可以用类似于背包的 DP 求出使得 $R$ 等于某个确定值的染色方案数。令 $f[i][j]$ 表示对前 $i$ 个数染色，使得其中被染成红色的数之和为 $j$ 的染色方案数。那么 $3 sum_{ R = floor{S/2} + 1}^{S} f[n][R]$ 即为使得 $R, G, B$ 三者中某个数大于 $S/2$ 的染色方案数。
若 $S$ 是偶数，我们可以沿用上述方法求出使得 $R = S/2$ 的染色方案数，即 $f[n][S/2]$ 。但是若直接把 $3f[n][S/2]$ 加到总数里边，会导致重复计数。具体地说，这样做将使得 $R = S/2, G = S/2, B = 0$，$R = S/2, G = 0, B = S/2$ 和 $R = 0, G = S/2, B = S/2$ 这三种情况被计了两次。而这三种情况的数量即从给定的 $n$ 个数中选择一些数使得其和为 $S/2$ 的方案数，用类似于背包的 DP 可以求出这个数量。将此数量记作 $k$ 。
总之，若 $S$ 为奇数，答案是 $ 3^n - 3 sum_{ R = floor{S/2} + 1}^{S} f[n][R] $；若 $S$ 为偶数，答案是 $3^n - 3sum_{ R = S/ 2}^{S} f[n][R] + 3k$。
ExaWizards 2019 C Snuke the Wizard
Key observation: 最后剩下的小球最初所在的盒子必定是连续的一段。
将盒子从左到右编号为 $1$ 到 $n$ 。
如果最初在 $i$ 号盒子里的小球，从左侧消失，那么 $1$ 号到 $i$ 号盒子中的小球必定都从左边消失了。
如果最初在 $i$ 号盒子里的小球，从右侧消失，那么 $i$ 号到 $n$ 号盒子中小球必定都从右边消失了。
我们可以二分搜索最后剩下的小球最初所在的范围的左右边界。