Preface
(mathbf{References}:)( ext{zqy's blogs : cnblogs},)云烟万象但过眼(.)
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快速幂和快速乘
原理：二进制分解和取模的定义
inline int fastpow(int a,int b) { int c = 1; for (; b; Mul(a,a), b>>=1) if (1&b) Mul(c,a); return c; }
inline ll fastmul(ll a,ll b) { return ( a * b - (ll)( (long double) a * b / p ) * p + p ) % p; }
整除和约数
整除
如果(a)是(b)的约数，则称(a)整除(b)，记作(a|b)。
整除的性质：
(1.) (a|b,b|cRightarrow a|c)
(2.) (a|b,c|dRightarrow ac|bd)
(3.) (a|b,a|cRightarrow a|(bn+cm))
(4.) (ma|mbRightarrow a|b)
约数
所以有(gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(amod b,b))，每次取模(a)减小一半，时间复杂度(mathcal O(log n))。
inline int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd( b, a % b ); }
inline int lcm(int a,int b) { return a / gcd(a,b) * b; }
素数和筛法
素数定理
Eratosthenes筛法
线性筛
用每个数字的最小质因子来筛掉它，时间复杂度(mathcal O(n))。
inline void EulerSieve(int Lim) {
for (int i = 2; i <= Lim; i++) {
if ( !flag[i] ) Prime[++cnt] = i;
for (int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= Lim; j++) {
flag[ i * Prime[j] ] = true;
if ( i % Prime[j] == 0 ) break;
}
}
}
算术基本定理和推论
每个正整数(n)都有如下的唯一分解：
有如下推论成立：
同余
同余的定义和性质
若(m|(a-b))，则称(a,b)模(m)同余，记作(aequiv bpmod m)。
同余的基本性质：自反性，对称性，传递性，同加性，同乘性，同幂性。
同余的其他性质：
(1.) (aequiv bpmod n,aequiv bpmod nRightarrow aequiv bpmod {mathrm{lcm}(n,m)})
(2.) (n|m,aequiv bpmod nRightarrow aequiv bpmod {n})
(3.) (gcd(c,m)=d,acequiv bcpmod mRightarrow aequiv bpmod{frac{m}{d}})
Fermat定理
若(p)是质数，则对于任意整数(a)，(a^pequiv apmod p)。
Wilson定理
若(p)是素数，则((p-1)!equiv -1pmod p)。
同余类和剩余系
对于任意(ain[0,p-1])，集合({a+kp|kinmathbb{Z}})中所有数模(p)都同余，余数为(a)，称该集合为模(p)意义下的一个同余类，简记为(overline a)。
模(p)意义下的同余类一共有(p)个，分别为(overline 0,overline 1,overline 2,cdots,overline {p-1})，他们构成模(p)意义下的完全剩余系，简称完系。
(1sim p)中与(p)互质的数有(varphi(p))个，这些数字对应的同余类组成了(p)的化简剩余系，也称既约剩余系或缩系。
既约剩余系的重要性质是关于模(p)乘法封闭，也就是(a,b)与(p)互质，显然(a imes b, a imes bmod p)都与(p)互质，所以(a imes bmod p)也在既约剩余系里面。
Euler定理
可以用来缩小指数规模。
对于(gcd(a,p)=1)的情况，可以用剩余系的知识来证明：
设(p)的既约剩余系为({overline{a_1},overline{a_2},cdots,overline{a_{varphi(p)}}})，对于(a_i,a_j)，若(a imes a_iequiv a imes a_jpmod p)，则(a(a_i-a_j)equiv 0pmod p)，由于(gcd(a,p)=1)，所以(a_iequiv a_jpmod p)。故对于(a_i ot =a_j)，都有(a imes a_i)和(a imes a_j)表示不同的同余类。
又因为既约剩余系乘法封闭，所以(overline{aa_i},overline{aa_j})都在既约剩余系中，因此({overline{aa_1},overline{aa_2},cdots,overline{aa_{varphi(p)}}})也表示(p)的既约剩余系，故：
所以(a^{varphi(p)}equiv 1pmod p)，证毕。
同余方程
裴蜀定理
方程(ax+by=c)有整数解，当且仅当(c|gcd(a,b))，此时有无数多组整数解。
证明：
显然要证方程(ax+by=gcd(a,b))有解，那么(x'=xfrac{c}{gcd(a,b)},y'=yfrac{c}{gcd(a,b)})就是原方程的整数解。
不妨设(ax_1+by_1=gcd(a,b),bx_2+(amod b)y_2=gcd(b,amod b))，所以：
显然只要方程(bx_2+(amod b)y_2=gcd(b,amod b))有解，就可以构造一组原方程的解。
此时归纳推理，问题转为求方程(gcd(a,b)x=gcd(a,b))，显然(x=1,yin mathbb{Z})就是一组解，那么原命题得证。
拓展欧几里得算法
把上述迭代过程实现一下，时间复杂度(mathcal O(log n))。
inline int Exeuclid(int a,int b,int &x,int &y) {
if ( b == 0 ) return x = 1, y = 0, a;
int p = Exeuclid(b,a%b,y,x); return y -= a / b * x, p;
}
设(gcd(a,b)=p)，原方程的一组特解为((x_0,y_0))，则原方程的通解为：
乘法逆元
求方程(axequiv 1pmod p)的解。
方法(1)：当(pin mathrm{Prime})时，(xequiv a^{-1}equiv a^{p-2}pmod p)，快速幂即可。
方法(2)：原方程有解等价于(p|(ax-1))，不妨设(ax-1=-py)，那么(ax+py=1)，显然原方程有解等价于(gcd(a,p)=1)，那么可以用扩展欧几里得算法求解。
方法(3)：不妨设(p=ka+t(t< a))，那么(ka+tequiv 0pmod p)，等式两边同时乘(a^{-1}t^{-1})，那么(a^{-1}equiv -kt^{-1}equiv -leftlfloorfrac{p}{a} ight floor(pmod a)^{-1}pmod p)，递归下去，时间复杂度(mathcal O(log n))。如果改成递推，可以(mathcal O(n))求(1sim n)所有数字的逆元。
线性同余方程组
求解方程组
当所有(m_i)互质的时候，可以令(M=prod m_i,M_i=frac{M}{m_i},t_i=M_i^{-1}pmod {m_i})，则(x=sum a_iM_it_i)是原方程组的一个解，这个结论叫做中国剩余定理。
当(m_i)不满足两两互质的时候，可以归纳求解，不妨设前(i-1)个方程的解为(x')，(mathrm{lcm}_{j=1}^{i-1}{m_j}=m)，显然(x'+km(kin mathbb{Z}))都是前(i-1)个方程的解，只要让(x'+kmequiv a_ipmod {m_i})成立就求出了前(i)个方程的解，这时候解一个单个的同余方程即可，如果无解，那么原方程组就无解。
这样解方程很容易有整型溢出的风险，要注意数据范围，即使(mathrm{lcm})在(mathrm{long long})范围内，也用用快速乘。
inline ll ExCRT(void) {
ll res = a[1] % m[1], l = m[1], p, x, y, v;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
v = ( ( a[i] - res ) % m[i] + m[i] ) % m[i];
if ( v % gcd(l,m[i]) ) return -1; p = Exeuclid(l,m[i],x,y);
x = ( x % (m[i]/p) + (m[i]/p) ) % (m[i]/p), x = fastmul( x, v/p, m[i]/p );
res = res + fastmul( x, l, lcm(l,m[i]) ), res %= ( l = lcm(l,m[i]) );
}
return res;
}
离散对数
求方程(a^{x}equiv bpmod p)的解，(gcd(a,p)=1)。
根据欧拉定理，(a^{varphi(p)}equiv 1pmod p)，所以(x)一定在区间([1,varphi(p)])里面，直接枚举的话时间复杂度是(mathcal O(varphi(p)))的。
考虑分块，令(x=kT-r(rleq T))，那么(a^{kT-r}equiv bpmod p)，所以(a^{kT}equiv a^{r}bpmod p)。此时可以(mathcal O(T))的时间枚举(a^{r}b)的取值，存在一个(mathrm{hash})表里面，那么可以枚举(kinleft[1,leftlceilfrac{varphi(p)}{T} ight ceil+1 ight])，然后查表即可，取(T=sqrt{varphi(p)})，时间复杂度(mathcal O(sqrt {varphi(p)}))。
inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p) {
ll T = sqrt(p), v1 = 1, v2; map<ll,ll> h;
for (int i = 0; i < T; v2 = v1 = Mul(v1,a,p), i++) h[Mul(v1,b,p)] = i;
for (int i = 1; i <= T + 2; v2 = Mul(v2,v1,p), i++)
if ( h.count(v2) ) return i * T - h[v2];
return -1;
}
Lucas定理
如果(p)是质数，那么
可以在模数较小时的求组合数。
inline int C(int n,int m) { return n < m ? 0 : mul( fac[n], mul( finv[m], finv[n-m] ) ); }
inline int Lucas(int n,int m) { return n < p && m < p ? C(n,m) : mul( C(n%p,m%p), Lucas(n/p,m/p) ); }
素数判定和分解质因数
MillerRabin测试
首先我们可以用费马小定理来逆向测试，也就是随机一些(a)，判定(a^{x-1}mod x)是否等于(1)，如果不是(1)，显然(x)是合数。
但是这样做仍然有些强伪素数会通过测试，也就是说一个数(x)现在满足对于随机的(a)，都有(a^{x-1}equiv 1pmod x)，现在我们要判定(x)是不是素数。
我们知道当(p)是素数的时候(x^2equiv 1pmod p)的解是(x=1/x=p-1)，所以我们就把(a^{x-1})开方，如果不是(1/p-1)就可以判定它不是素数，如果是开方后是(1)的话可以继续判定。
这样做在(mathrm{long long})范围内不会误判。
inline bool MillerRabin(int x) {
if ( x == 2 || x == 3 || x == 5 || x == 7 ) return true;
if ( x == 1 || x % 2 == 0 ) return false;
int a = x - 1, b = 0; while ( not( a & 1 ) ) a>>=1, b++;
for (int i = 1, j; i <= 8; i++) {
int base = rand() % ( x - 2 ) + 2, v = fastpow(base,a,x);
if ( v == 1 || v == x - 1 ) continue;
for (j = 0; j < b; j++) if ( ( v = 1LL * v * v % x ) == x - 1 ) break;
if ( j == b ) return false;
}
return true;
}
Pollard-Rho分解质因数
我们可以在([1,n])间随机(x_1,x_2,cdots,x_k)这(k)个数字，然后试图判定(gcd(|x_i-x_j|,n)>1)，如果存在，那么我们就找到了一个(n)的非平凡质因子，根据生日悖论，其成功率很可观。
随机数可以用(x_1=c,x_i=(x_{i-1}^2+c)mod n)的方式生成，分布比较均匀，但是可能会出现( ho)型环，需要特判。
一个很有效的判环策略是：令一个变量(x')以每次迭代两下的速度同时计算，如果出现(x'=x)，那么就说明出现环，此时只要更改常数(c)的值重新计算即可。
这样做的期望复杂度是(mathcal O(n^{frac{1}{4}}mathrm{polylog}(n)))的，要配合(mathrm{Miller Rabin})测试，基本不会误判。处理(10^{18})范围内的数据时，要注意配合快速乘。
inline ll PollardRho(ll x) {
if ( MillerRabin(x) ) return x;
for (ll c = 3, x1, x2, i, j; x1 = x2 = i = 1, j = 2; ++c)
for (ll d; x1 = (Mul(x1,x1,x)+c) % x, d = gcd(abs(x1-x2),x);) {
if ( 1 < d && d < x ) return max( PollardRho(d), PollardRho(x/d) );
if ( x1 == x2 ) break; if ( ++i == j ) j <<= 1, x2 = x1;
}
}
阶和原根
阶的定义和性质
若(gcd(a,p)=1)，称方程(a^xequiv 1pmod p)的最小正整数解(x)为(a)模(p)的阶，记作(delta_p(a))。
性质(1)：对于任意的(n)满足(a^nequiv 1pmod p)，都有(delta_p(a)|n)，证明如下：
若不成立，则一定有(n=k imes delta_p(a)+r(r<delta_p(a)))，那么：(a^{n}equiv a^{k imes delta_p(a)} imes a^requiv 1pmod p)，所以(a^requiv 1pmod p)，这与(delta_p(a))的最小性矛盾，故假设不成立。
根据欧拉定理可得推论：(delta_p(a)|varphi(p))。
性质(2)：设(x=delta_p(a))，则(a^0,a^1,cdots,a^{x-1})两两不同余，证明如下：
若不成立，不妨设(0leq i<j<x)满足(a^iequiv a^jpmod p)，那么(a^{j-i}equiv 1pmod p)，显然(0<j-i<x)，与(delta_p(a))的最小性矛盾，故假设不成立。
性质(3)：设(x=delta_p(a))，则(delta_p(a^t)=frac{x}{gcd(x,t)},tin mathbb{N}^+)，证明如下：
不妨设(delta_p(a^t)=y)，根据阶的定义(a^{ty}equiv 1pmod p)，根据阶的性质(1)，有(x|ty)，可以导出(frac{x}{gcd(x,t)}|frac{t}{gcd(x,t)} imes y)，于是(frac{x}{gcd(x,t)}|y)，根据阶的最小性，显然(y=frac{x}{gcd(x,t)})。
原根的定义和性质
若(gcd(g,p)=1,delta_p(g)=varphi(p))，则称(g)为模(p)意义下的一个原根。
根据阶的性质和既约剩余系的乘法封闭性，我们还可以知道(g)为模(p)意义下的一个原根，当且仅当({overline {g},overline{g^2},cdots,overline{g^{varphi(p)}}})构成一个模(p)意义下的既约剩余系。
最小原根的求法：我们可以直接在(2sim p-1)范围内枚举(g)，只要验证(forall iin[2,varphi(p)-1])，(g^{i}equiv 1pmod p)恒不成立即可。而根据推论，如果存在(g^iequiv 1pmod p)，一定有(i|varphi(p))，所以只要枚举(varphi(p))的约数验证即可。再进一步，我们可以对于每个(varphi(p))的质因数(p_i)用(frac{varphi(p)}{p_i})来验证，因为他们涵盖了(varphi(p))所有真因子的倍数。
可以证明，一个正整数(p)的最小原根是(O(n^{frac{1}{4}}))级别的，那么结合( ext{Pollard-} ho)算法，可以实现(O(p^{frac{1}{4}}log^2 p))求一个最小原根。
inline void PollardRho(ll x) {
if ( MillerRabin(x) ) return fac.push_back(x), void();
for (ll c = 3, x1, x2, i, j; x1 = x2 = i = 1, j = 2; ++c)
for (ll d; x1 = (Mul(x1,x1,x)+c) % x, d = gcd(abs(x1-x2),x);) {
if ( 1 < d && d < x ) return PollardRho(d), PollardRho(x/d);
if ( x1 == x2 ) break; if ( ++i == j ) j <<= 1, x2 = x1;
}
}
inline ll Phi(ll p) {
if ( MillerRabin(p) ) return p-1; ll val = p;
PollardRho(p), sort( fac.begin(), fac.end() );
fac.erase( unique(fac.begin(),fac.end()), fac.end() );
for (int i = 0; i < fac.size(); i++)
val /= fac[i], val *= (fac[i]-1);
return fac.clear(), val;
}
inline ll PrimitiveRoot(ll p,ll val = 0) {
if ( p == 2 ) return 1; PollardRho( val = Phi(p) );
sort( fac.begin(), fac.end() );
fac.erase( unique(fac.begin(),fac.end()), fac.end() );
for (ll i = 2, flag; flag = 1, i < p; i++) {
for (int j = 0; flag && j < fac.size(); j++)
if ( Pow(i,val/fac[j],p) == 1 ) flag = 0;
if ( flag ) return fac.clear(), i;
}
}
原根存在判定定理：在模(m)意义下存在原根，当且仅当(m=2,4,p^k,2p^k)，其中(p)为质数，(k)为正整数。
求出一个数的最小原根(g)以后，我们可以进一步求出这个数的所有原根：集合(G={g^s|sin[1,varphi(p)],gcd(s,varphi(p))=1})给出了模(p)意义下的所有原根，一共有(varphi(varphi(p)))个，证明如下：
根据原根的性质，集合(G_0={g^s|sin[1,varphi(p)]})生成了模(p)意义下的既约剩余系，已经考察了所有可能的原根，所以只要说明(g^s)是模(p)意义下的原根，一定满足(gcd(s,varphi(p))=1)即可。根据阶的性质：(delta_p(g^s)=frac{varphi(p)}{gcd(varphi(p),s)})，如果(g^s)是原根，显然(delta_p(g^s)=varphi(p))，那么就有(gcd(varphi(p),s)=1)，进而可知原根一共有(varphi(varphi(p)))个。
原根的应用
假设(g)是模(p)意义下的原根，那么称方程(g^xequiv apmod p)的最正小整数解为离散对数，记作( ext{ind}_g(a))。
离散对数具有和连续对数一样的性质：
离散对数可以在(O(sqrt p))的时间内求解(k)次剩余，即方程(x^{k}equiv apmod p)的解：
处理出原根(g)之后，( ext{ind}_g (x))的值就可以用( ext{BSGS})算法求出，然后再快速幂还原出(x)即可。
不妨设(x_0equiv g^cpmod p)是原问题的一个解，那么(x^kequiv g^{kc+tvarphi(p)}equiv apmod p)，显然解(xequiv g^{c+frac{tvarphi(p)}{k}}pmod p)，参数(t)显然要满足(frac{k}{gcd(k,varphi(p))}|t)，不妨设(t=i imes frac{k}{gcd(k,varphi(p))},iinmathbb{N})，那么原问题的所有解为：(xequiv g^{c+frac{varphi(p)}{gcd(varphi(p),k)} imes i}pmod p,iin mathbb{N})。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; vector<ll> fac;
inline ll Mul(ll a,ll b,ll p) { return ( a * b - (ll)( (long double) a * b / p ) * p + p ) % p; }
inline ll Pow(ll a,ll b,ll p) { ll c = 1; for (; b; a = Mul(a,a,p), b >>= 1) if (1&b) c = Mul(c,a,p); return c; }
inline ll gcd(ll a,ll b) { return b == 0 ? a : gcd( b, a % b ); }
inline ll lcm(ll a,ll b) { return a / gcd(a,b) * b; }
inline bool MillerRabin(ll x) {
if ( x == 2 || x == 3 || x == 5 || x == 7 ) return true;
if ( x == 1 || x % 2 == 0 ) return false;
ll a = x - 1, b = 0; while ( not( a & 1 ) ) a>>=1, ++b;
for (int i = 1, j; i <= 8; i++) {
ll Base = rand() % ( x - 2 ) + 2, v = Pow(Base,a,x);
if ( v == 1 || v == x - 1 ) continue;
for (j = 0; j < b; j++) if ( ( v = Mul(v,v,x) ) == x - 1 ) break;
if ( j == b ) return false;
}
return true;
}
inline void PollardRho(ll x) {
if ( MillerRabin(x) ) return fac.push_back(x), void();
for (ll c = 3, x1, x2, i, j; x1 = x2 = i = 1, j = 2; ++c)
for (ll d; x1 = (Mul(x1,x1,x)+c) % x, d = gcd(abs(x1-x2),x);) {
if ( 1 < d && d < x ) return PollardRho(d), PollardRho(x/d);
if ( x1 == x2 ) break; if ( ++i == j ) j <<= 1, x2 = x1;
}
}
inline ll Phi(ll x) {
if ( MillerRabin(x) ) return x - 1; ll val = x;
PollardRho(x), sort( fac.begin(), fac.end() );
fac.erase( unique(fac.begin(),fac.end()), fac.end() );
for (int i = 0; i < fac.size(); i++) val /= fac[i], val *= (fac[i]-1);
return fac.clear(), val;
}
inline ll PrimitiveRoot(ll x,ll val = 0) {
if ( x == 2 ) return 1; PollardRho( val = Phi(x) );
sort( fac.begin(), fac.end() );
fac.erase( unique(fac.begin(),fac.end()), fac.end() );
for (ll i = 2, flag; flag = 1, i < x; i++) {
if ( gcd(i,x) != 1 ) continue;
for (int j = 0; flag && j < fac.size(); j++)
if ( Pow(i,val/fac[j],x) == 1 ) flag = 0;
if ( flag ) return fac.clear(), i;
}
}
inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p) {
ll T = sqrt(p), v1 = 1, v2; map<ll,ll> h;
for (int i = 0; i < T; v2 = v1 = Mul(v1,a,p), i++) h[Mul(v1,b,p)] = i;
for (int i = 1; i <= T + 1; v2 = Mul(v2,v1,p), i++)
if ( h.count(v2) ) return i * T - h[v2];
return -1;
}
int main(void)
{
ll k,a,p,g,x0,phi,t; vector<ll> x; int T = 0;
while ( ~scanf( "%lld%lld%lld", &k, &p, &a ) ) {
printf( "case%d:
", ++T );
g = PrimitiveRoot(p), x0 = BSGS(Pow(g,k,p),a,p), phi = Phi(p);
if ( x0 == -1 ) { puts("-1"); continue; }
t = phi / gcd(k,phi), x0 %= t, x.clear();
for (; x0 < phi; x0 += t) x.push_back(x0);
for (int i = 0; i < x.size(); i++) x[i] = Pow(g,x[i],p);
sort( x.begin(), x.end() );
for (int i = 0; i < x.size(); i++) printf( "%lld
", x[i] );
}
return 0;
}
// HDU3930
基础数论例题
GCD Table
假设符合要求的位置起点为((x,y))，那么显然(forall iin[1,k],a_i|x)，也就是(mathrm{lcm}(a_1,a_2,cdots ,a_k)|x)，显然(x)可以取(k imes mathrm{lcm}(a_1,cdots,a_k))，但是(k>1)还要求(gcd(k,frac{y+i-1}{a_i})=1)，显然(k>1)有解，(k=1)也有解。
注意到我们还要求(forall iin[1,k],a_i|(y+i-1))，所以(forall iin[1,k],yequiv 1-ipmod{a_i})，用(mathrm{ExCRT})解这个同余方程组，注意要让(y)是正整数。
即使((x,y),cdots,(x,y+k-1))都落在给定的表格内，也要再次检验是否符合题意，因为保证下标都是对应(a_i)的倍数，有可能其(gcd)也是(a_i)的倍数，不是(a_i)。
仪仗队
Longge的问题
沙拉公主的困惑
考虑到(gcd(x,y)=gcd(x+y,y)=gcd(x+ky,y))，所以对于(iin[1,m!])，当一个(gcd(i,m!))取到(1)时，总共会有(frac{n!}{m!})个(gcd(i+k(m!),m!))取到(1)，所以：
外星人
首先要发现只有(varphi(2)=1)，然后考虑唯一分解式取(varphi)之后会发生什么：
我们发现，每次取(varphi)后原数中的因子(2)会因为(p_i=2)的部分恰好减少一个，但是会被其他(p_i)是奇质数的部分增加若干个。当这个数字(n)没有任何因子(2)的时候，(n)就是(1)了，所以取(varphi)函数的次数，就恰好是(n)所有质因子的幂会产生的(2)的个数之和。
设(f(x))表示(x)会产生多少个因子(2)，显然(f(p)=f(p-1))，(f(a imes p)=f(a) imes f(p)(pinmathrm{Prime}))，这一过程在线性筛里面处理即可，那么根据输入就可以直接计算答案了。
要注意，当(n)一开始为奇数的时候，第一次取(varphi)没有因子(2)可以消去，所以答案要(+1)。
上帝与集合的正确用法
直接递归，当(varphi(p)=1)时，返回(0)即可。
数论函数
符号及约定
(1.) ([P])是指正则表达式，当(P)为(mathrm{true})时，([P]=1)，当(P)为(mathrm{false})时，([P]=0)。
(2.) 约数个数函数定义为( au(n)=sum_{d|n}1)。
(3.) 约数和函数定义为(sigma(n)=sum_{d|n}d)。
(4.) 元函数定义为(e(n)=[n=1])。
(5.) 恒等函数定义为(I(n)=1)。
(6.) 单位函数定义为(epsilon_k(n)=n^k)。
(7.) 欧拉函数定义为(varphi(n)=sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1])。
(8.) 设(n=prod p_i^{c_i})，则莫比乌斯函数定义为(mu(n)=egin{cases}1&n=1\(-1)^k& forall c_i=1\0&exist c_i>1end{cases})。
(9.) 对于数论函数(f)，若满足(gcd(a,b)=1)时，有(f(ab)=f(a)f(b))，则称函数(f)为积性函数。
(10.) 对于两个函数(f,g)，定义他们的(mathrm{dirichlet})卷积为：((f imes g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}))，函数(f,g)不必要是积性函数。
欧拉筛法
前置知识里已经提到过，以下给出本文可能会使用的线性筛代码：
int flag[N],Prime[N],cnt;
inline void EularSieve(void)
{
for (int i = 2; i <= Lim; i++) {
if ( !flag[i] ) Prime[++cnt] = i;
for (int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= Lim; j++) {
flag[ i * Prime[j] ] = true;
if ( i % Prime[j] == 0 ) break;
}
}
}
这是最朴素的欧拉筛法，不过当我们要筛一些比较复杂的积性函数的时候，线性筛方程的推导可能会非常复杂。
因此我们考虑引入一种更好的线性筛法，目的是能够方便的筛出积性函数的值。
首先，我们注意到积性函数的性质：当(gcd(a,b)=1)时，有(f(ab)=f(a)f(b))。那么对于一个任意的正整数(n)，我们可以用算术基本定理进行分解：
此时，任意的(i,jin[1,k])都满足(gcd(p_i^{c_i},p_j^{c_j})=1)。那么我们就可以得到：
那么我们就有一个想法：利用定义求出积性函数(f)在所有素数幂出的取值，然后直接递推出所有函数值。
具体地说，可以这样递推：
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= Lim; i++)
if ( i == Pow[i] ) f[i] = Calc(p[i],e[i]);
else f[i] = f[i/Pow[i]] * f[Pow[i]];
其中(p_i)代表数(i)的最小素因子，(e_i)代表(i)的分解式中(p_i)这个素因子的指数，(mathrm{Calc})就是求素数幂处取值的函数，而(mathrm{Pow}_i=p_i^{e_i})，这样是不是就符合我们的要求了呢？
那么现在我们的问题就是如何求出(p,e,mathrm{Pow})这三个数组，幸运的是，他们都可以在线性筛的过程中求。
根据欧拉筛法每次用一个数的最小素因子筛去这个合数，就可以更新这三个数组的值了。
代码如下：
int p[N],e[N],Pow[N],Prime[N],cnt;
inline void EularSieve(void)
{
Pow[1] = p[1] = f[1] = 1 , e[1] = 0;
for (int i = 2; i <= Lim; i++) {
if ( p[i] == 0 ) p[i] = Pow[i] = Prime[++cnt] = i , e[i] = 1;
for (int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= Lim; j++) {
int Next = i * Prime[j]; p[Next] = Prime[j];
if ( p[i] == Prime[j] ) {
e[Next] = e[i] + 1;
Pow[Next] = Pow[i] * Prime[j];
break;
}
else e[Next] = 1 , Pow[Next] = Prime[j];
}
}
for (int i = 2; i <= Lim; i++)
if ( i == Pow[i] ) f[i] = Calc(p[i],e[i]);
else f[i] = f[i/Pow[i]] * f[Pow[i]];
}
Dirichlet卷积
Dirichlet卷积的性质
(1.) 两个积性函数(f)和(g)的(mathrm{dirichlet})卷积仍为积性函数。
证明：
设有两个积性函数(f)和(g)，则它们的(mathrm{dirichlet})卷积为：
对于函数(h)则可以得到：
故函数(h)为积性函数。
(2.) (mathrm{dirichlet})卷积满足交换律。
证明：
设有数论函数(f)和(g)，则有：
(3.) (mathrm{dirichlet})卷积满足结合律。
证明：
设有数论函数(f)，(g)和(h)，则有：
(4.) (mathrm{dirichlet})卷积满足分配律。
证明：
设有数论函数(f)，(g)和(h)，则有：
常见的Dirichlet卷积
(1.) (f imes e=f)
正确性显然，对于任意函数(f)成立.
(2.) (epsilon=varphi imes I)
(3.) ( au=I imes I)
(4.) (sigma=epsilon imes I)
(5.) (e=mu imes I)
不妨设(n=prod_{i=1}^k p_i^{a_i})，(mathrm{P}={1,p_1,p_2,cdots,p_{k-1}})，因为当(x)有平方因子时(mu(x)=0)，所以可以进行如下转化：
对于质数(p)和正整数(a)满足(p ot | a)，显然有(mu(p)+mu(ap)=0)，所以：
(6.) (varphi=epsilon imes mu)
可以用欧拉函数的容斥计算来理解.
(7.) (sigma= au imes varphi)
下取整函数的性质
(1.) 对于(iin left [x, left lfloor frac{k}{ leftlfloor frac{k}{x} ight floor } ight floor ight ])，(leftlfloor frac{k}{i} ight floor)的值都相等。
证明：
设(f(x)= left lfloor frac{k}{ leftlfloor frac{k}{x} ight floor } ight floor)，显然有(f(x)geq left lfloor frac{k}{ left( frac{k}{x} ight) } ight floor=x)，则可得(left lfloor frac{k}{f(x)} ight floorleq left lfloor frac{k}{x} ight floor)。
从另一方面考虑，则有(left lfloor frac{k}{f(x)} ight floorgeqleft lfloor frac{k}{ frac{k}{left lfloor k/x ight floor } } ight floor=leftlfloor frac{k}{x} ight floor)，则可得：(left lfloor frac{k}{f(x)} ight floor=left lfloor frac{k}{x} ight floor)。
(2.) (leftlfloorfrac{n}{k} ight floor)最多只有(2sqrt n)种取值。
证明：
当(kleqsqrt n)时，至多只有(sqrt n)个(k)，所以对应的取值只有(sqrt n)种。
当(k>sqrt n)时，有(1leqleftlfloorfrac{n}{k} ight floorleqsqrt n)，所以对应的取值也只有(sqrt n)种。
那么当我们要对某个有关下取整函数的值求和的时候，就可以使用如下的整除分块算法，时间复杂度(O(sqrt n))。
inline int Calc(void) {
int res = 0;
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
( r = n/l ? min( n/(n/l) , n ) : n ), res += f(n/l);
return res;
}
对于二元的情况，其实也是一样的，我们考虑间断点合并，就可以证明其时间复杂度为(O(sqrt n + sqrt m))。
inline int Calclim(int n,int k,int l) { return k/l ? min( k/(k/l) , n ) : n; }
inline int Calc(void)
{
int res = 0;
for (int l = 1, r; l <= min(n,m); l = r + 1)
r = min( Calclim( min(n,m), n, l ), Calclim( min(n,m), m, l ) ),
// 此时，区间[l,r]中所有的 [n/l] 都相等,所有的 [m/l] 也都相等
res += f( n/l , m/l );
return res;
}
(3.) 若(m)是正整数，则有(leftlfloorfrac{lfloor x floor}{m} ight floor=leftlfloorfrac{x}{m} ight floor)
证明：
设(x=km+r(r<m))，则
推论 ：
反演原理
一般来说会用到两种反演原理：
第一个，本质上是(mu imes I=e)，用于一般的莫比乌斯反演.
第二个，本质上是(F=f imes ILeftrightarrow f=F imes mu)，又称为因数形式莫比乌斯定理（倍数形式莫比乌斯定理基本上可以用反演原理一代替，这里不提了）.
第三个，没什么好说的，就是直接根据定义变形.
数论函数例题：几种常见的反演
NOI2010 能量采集
(n,mleq 10^5)，求：
显然(varphi)函数可以线性筛，那么时间复杂度就优化到(O(sqrt n+sqrt m))回答每一组询问.
看到(gcd)，其实可以用欧拉反演秒杀：
Luogu2257 YY的gcd
(T=10^4)，(n,mleq 10^7)，求：
显然我们可以令
我们完全可以枚举每一个质数(p)然后调和级数地枚举其倍数，累加贡献，时间复杂度是(O(frac{n}{ln n} imes ln n)approx O(n))，当然也可以分类讨论线性筛，不过没什么必要.
BZOJ2693 jzptab
(Tleq 10^4)，(n,mleq 10^7)，求：
令(F(n,m)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mij[gcd(i,j)=1])，则：
这里记(S(n,m)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mij=frac{nm(n+1)(m+1)}{4})，那么：
显然后面的函数又是积性函数，可以线性筛，那么就可以(O(sqrt n+sqrt m))回答一组询问了.