<正文>
循环排列
循环排列：从(n)个元素中选出(m)个排成圆圈的方案数，相当于线性排列时固定第一个数的方案。
一个循环排列可以对应(m)个线性排列，进而可以得到循环排列的计算公式：
[Cir_{n}^{m}=frac{A_{n}^{m}}{m}=frac{n!}{m imes (n-m)!}
]
鸽巢原理
一般形式
把(n+1)个物品放入(n)个盒子中，那么至少有一个盒子包含两个或两个以上的物品。
证明：
反证法，若每个盒子只有一个物品，则物品总数至多为(n)，矛盾。
加强形式
设有(sum_{i=1}^nq_i-n+1)个物品放入(n)个盒子中，每个盒子中分别放了(a_1,a_2,...,a_n)个物品，则至少存在一个(k)，使得(a_kgeq q_k)。
证明：
反证法，若每个盒子满足(a_i<q_i)，则物品总数至多为(sum _{i=1}^nq_i-n)，矛盾。
下降阶乘幂和二项式系数
我们定义(n^{underline{k}})为(n)的(k)次下降阶乘幂，其计算式为：
[n^{underline{k}}=n imes (n-1) imes ... imes (n-k+1)
]
其中(k)是整数，(n)可以是任意实数。
我们发现组合数可以用下降阶乘幂来表示：
[C_{n}^{m}=inom{n}{m}=frac{n^{underline{m}}}{m!}
]
于是我们就可以扩充组合数的定义域。也就是说，组合数的上指标(n)可以为任意实数。
组合恒等式
对称恒等式
[inom{n}{m}=inom{n}{n-m}
]
对于(n,min N)成立。
证明：
[inom{n}{m}=frac{n!}{m!(n-m)!}=frac{n!}{(n-m)!(n-(n-m))!}=inom{n}{n-m}
]
吸收恒等式
[inom{r}{k}=frac{r}{k}inom{r-1}{k-1}
]
对于(rin R，kin N^+)成立。
证明：
[inom{r}{k}=frac{r^{underline{k}}}{k!}=frac{r}{k} imes frac{(r-1)^{underline{k-1}}}{(k-1)!}=frac{r}{k}inom{r-1}{k-1}
]
相伴恒等式
[(r-k)inom{r}{k}=rinom{r-1}{k}
]
对于(rin R,kin N)成立。
[(r-k)inom{r}{k}=frac{r!}{(r-k-1)!k!}=r imes frac{(r-1)^{underline{r-k-1}}}{(r-k-1)!}\ \=rinom{r-1}{r-k-1}=rinom{r-1}{k}
]
加法公式
[inom{r}{k}=inom{r-1}{k-1}+inom{r-1}{k}
]
对于(rin R,k in N)成立。
证明：
[inom{r-1}{k-1}+inom{r-1}{k}=frac{(r-1)^{underline{k-1}}}{(k-1)!}+frac{(r-1)^{underline{k}}}{k!}\ \=frac{k(r-1)^{underline{k-1}}}{k!}+frac{(r-k)(r-1)^{underline{k-1}}}{k!}\ \ =frac{r^{underline{k}}}{k!}=inom{r}{k}
]
上指标求和
[sum_{i=m}^ninom{i}{m}=inom{n+1}{m+1}
]
对于(n,min N)成立。
证明：
设有(n+1)个物品，标号为(1sim n)，现在从中选取(m+1)个物品，当选取的最大号码为(i)时，方案数为(inom{i}{m})，那么枚举累加方案数就得到了：(sum_{i=m}^ninom{i}{m}=inom{n+1}{m+1})。
平行恒等式
[sum_{i=0}^ninom{m+i}{i}=inom{m+n+1}{n}
]
对于(n,min N)成立。
证明：
[sum_{i=0}^ninom{m+i}{i}=sum_{i=0}^ninom{m+i}{m}\ \ =sum_{i=m}^{n+m}inom{i}{m}=inom{n+m+1}{m+1}=inom{n+m+1}{n}
]
上指标翻转
[inom{r}{k}=(-1)^kinom{r-k-1}{k}
]
对于(rin R,kin N) 成立。
证明：
[inom{r}{k}=frac{r^{underline{k}}}{k!}\ \ =frac{r imes (r-1) imes ... imes (r-k+1)}{k!}\ \ =frac{(-1)^{k} imes (k-r-1) imes (k-r-2) imes ... imes (-r)}{k!}\ \ =(-1)^kfrac{(r-k-1)^{underline{k}}}{k!}=(-1)^kinom{r-k-1}{k!}
]
三项式系数恒等式
[inom{r}{m}inom{m}{k}=inom{r-k}{m-k}inom{r}{k}
]
对于(rin R , n,min N)成立。
证明：
[inom{r}{m}inom{m}{k}=frac{r!}{(r-m)!(m-k)!k!}=inom{r-k}{m-k}inom{r}{k}
]
范德蒙德卷积
[sum_{k=0}^ninom{r}{k}inom{s}{n-k}=inom{r+s}{n}
]
对于(r,sin R , nin N)成立。
证明：
左边表示从(r)个男生中选(k)个人，从(s)个女生中选出(n-k)个人的方案数，求和即为在(r+s)个人中选(n)个人的方案数，可知：(sum_{k=0}^ninom{r}{k}inom{s}{n-k}=inom{r+s}{n})。
二项式定理
二项式定理
在上一篇中，我们已经提到了经典的二项式定理，并用数学归纳法证明了该定理的正确性。
[(a+b)^n=sum_{i=0}^ninom{n}{i}a^{i}b^{n-i}
]
广义二项式定理
上文中，我们已经可以将组合数(inom{n}{m})的上指标扩充到实数域。在实数域的组合数中，二项式定理仍然成立，我们称之为广义二项式定理，又称牛顿二项式定理。
[(a+b)^r=sum_{i=0}^{infty}inom{r}{i}a^{i}b^{r-i}
]
组合数的数论性质
若(p)为质数，则对于(nin[1,p-1])，有(p | inom{p}{n})。
证明：
[ecause inom{p}{n}=frac{p imes (p-1) imes ... imes (p-n+1)}{n!}in \ \ herefore n! | p imes (p-1) imes ... imes (p-n+1)\ \ ecause(p,n)=1\ \ herefore n! | (p-1) imes (p-1) imes ... imes (p-n+1)\ \ herefore p | inom{p}{n}
]
多项式定理
定义多项式系数：
[inom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}=frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!n_2!...n_k!}
]
则有如下的多项式定理成立：
[(x_1+x_2+...+x_k)^n=sum_{n_1+n_2+...+n_k=n}inom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}
]
两类阶乘幂
定义
我们已经定义下降阶乘幂：
[x^{underline{n}}=x imes (x-1) imes ... imes (x-n+1)
]
同理我们定义上升阶乘幂：
[x^{overline{n}}=x imes (x+1) imes ... imes (x+n-1)
]
我们可以提取符号，写成另一种形式：
[x^{underline{n}}=(-1)^n(x-n+1)^{underline{n}},x^{overline{n}}=(-1)^n(1-x-n)^{overline{n}}
]
阶乘幂的二项式定理
二项式定理对阶乘幂仍然成立：
[(a+b)^{underline n}=sum_{i=0}^ninom{n}{i}a^{underline i}b^{underline{n-i}}\ \ (a+b)^{overline n}=sum_{i=0}^ninom{n}{i}a^{overline i}b^{overline{n-i}}
]
不定方程的解数问题
正整数解
求不定方程(x_1+x_2+...+x_k=n)的正整数解的个数。
这个问题等价于把(n)个球放入(k)个盒子中，每个盒子中至少有(1)个球，由隔板法可知其方案数为(inom{n-1}{k-1})。
非负整数解
求不定方程(x_1+x_2+...+x_k=n)的非负整数解的个数。
我们可以新增(k)个球，这样问题就等价于把(n+k)个球放入(k)个盒子中，每个盒子中至少有(1)个球，由隔板法可知其方案数为(inom{n+k-1}{k-1})。
下界限制
求不定方程(x_1+x_2+...+x_k=n)的整数解的个数，满足(x_1geq a_1,x_2geq a_2,...,x_kgeq a_k)。
这个问题等价于不定方程(x_1+x_2+...+x_k=n-a_1-a_2-...-a_k)的非负整数解个数，可以其方案数为$$inom{n+k-1-sum_{i=1}^{n}a_i}{k-1}$$
上下界限制
求不定方程(x_1+x_2+...+x_k=n)的整数解的个数，满足(a_1leq x_1leq b_1,a_1leq x_2leq b_2,...,a_kleq x_kleq b_k)。
首先把限制转换为(0leq x_1leq b_1-a_1,...,0leq x_kleq b_k-a_k)，运用容斥原理，答案即为：
[inom{n+k-1}{k-1}-inom{n+k-1-sum_{i=1}^n(b_i-a_i+1)}{k-1}
]