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<更新提示>

<第一次更新>

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<正文>

月之谜

Description

打败了Lord lsp 之后，由 于lqr 是一个心地善良的女孩 子，她想净化Lord lsp 黑化的 心，使他变回到原来那个天然 呆的lsp……在倒霉的光之英 雄applepi 的指引下，lqr 来到 了月之泉。月之泉的精灵告诉 她，想要净化Lord lsp 的话， 就要解出月之泉的谜题。

具体地来说是这样的，定 义月之数为能够被其十进制 表示下各个数位的和整除的数。给定整数L,R，你需要计算出区间[L, R]中有多少个月之数。 lqr 发觉这不是数学竞赛能够解决的问题，于是她又找到了你……所以说你需要帮助她解决 这个问题。

Input Format

输入包含多个测试数据。

每组测试数据占一行，含有两个整数L 和R。

输入文件以EOF 结束。

Output Format

对于每组测试数据，在单独的一行内输出结果。

Sample Input

1 100
101 200

Sample Output

33
26

解析

有点复杂，但肯定还是数位(dp)。

设(f[i][j][k][l])表示长度为(i)的数，各个数位之和为(j)，数值(mod k=l)的月之数个数。状态的二三四维，其实都是为了满足统计答案的限制服务的。

还是考虑最高位填的数字是什么，可以得到状态转移方程：

[f[i][j][k][l]=sum_{p=0}^9f[i-1][j-p][k][(l-p imes 10^{i-1})mod k] ]

这个方程的边界比较难以处理，所以我们可以暴力计算出(i=0)和(i=1)时有关状态的(dp)值。

然后就是考虑得到区间([1,n])中月之数的个数。首先我们枚举各位数字之和(sum)，然后还是从高位开始枚举，得到与原数不同的第一个位(i)，假设(n=sum_{i=1}^{cnt}num[i] imes10^{i-1})，就是(n)的十进制各个位，并且当前我们得到了$$t=sum_{j=1}^{i-1}num[j],q=left(sum_{j=1}^{i-1}num[j] imes10^{j-1} ight)mod sum$$

那么我们枚举这一位填的值(p)，若(p<num[i])，则后面可以随便填，累加答案(f[i-1][sum-t-p][sum][(sum-q-p imes 10^{i-1})mod sum])。反之，若(p=num[i])，则更新(t,q)，继续尝试下一位即可。

(Code:)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 12 , S = 92;
long long f[N][S][S][S],Pow[N];
int num[N];
inline int sub(long long a,long long b,int mod) { return ( ( a - b ) % mod + mod ) % mod; }
inline void Prepdp(void)
{
    Pow[0] = 1;
    for (int i=1;i<=10;i++) Pow[i] = Pow[i-1] * 10;
    for (int k=1;k<=90;k++) f[0][0][k][0]++;
    for (int i=0;i<=9;i++)
        for (int k=1;k<=90;k++)
            f[1][i][k][i%k]++;
    for (int i=2;i<=10;i++)
        for (int j=0;j<=i*9;j++)
            for (int k=1;k<=90;k++)
                for (int l=0;l<k;l++)
                    for (int p=0;p<=min(9,j);p++)
                        f[i][j][k][l] += f[i-1][j-p][k][sub(l,p*Pow[i-1],k)];
}
inline long long solve(long long x)
{
    if ( x == 0 ) return 0;
    int cnt = 0; long long res = 0 , y = x , s = 0;
    memset( num , 0 , sizeof num );
    while ( x ) s += num[++cnt] = x % 10 , x /= 10;
    if ( y % s == 0 ) res++;
    for (int sum=1;sum<=90;sum++)
    {
        int t = 0 , q = 0;
        for (int i=cnt;i>=1;i--)
        {
            for (int p=0;p<min(num[i],sum-t+1);p++)
                res += f[i-1][sum-t-p][sum][sub(sum,q+p*Pow[i-1],sum)];
            t += num[i] , q = ( q + num[i] * Pow[i-1] ) % sum;
            if ( t > sum ) break;
        }
    }
    return res;
}
int main(void)
{
    Prepdp();
    long long l,r;
    while ( ~scanf("%lld%lld",&l,&r) )
    {
        long long ans = solve(r) - solve(l-1);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

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<后记>