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<正文>

概率

基础概念

定义

设样本空间为(Omega)，若对于(Omega)中的每一个随机事件(A)，都存在实值函数(P(A))，满足：

(1.) (P(A)geq0)
(2.) (P(Omega)=1)
(3.) 对于若干个两两互斥事件(A_1,A_2,...,A_n)，有(sum_{i=1}^n P(A_i)=P(igcup_{i=1}^n A_i))

则称(P(A))为随机事件(A)发生的概率。

必然事件

一定发生的事件称为必然事件，也就是样本空间(Omega)。

不可能事件

一定不发生的事件成为不可能事件，记为(emptyset)。

事件包含

如果事件(A)发生必然导致事件(B)发生，则称事件(B)包含事件(A)，记为(Asubset B)或(Bsupset A)。

事件的并

如果事件(A)和事件(B)至少有一个发生，则称这个事件为事件(A)与事件(B)的并，记为(Acup B)

事件的交

如果事件(A)和事件(B)同时发生，则称这个事件为事件(A)与事件(B)的交，记为(Acap B)

事件的差

如果事件(A)，发生而事件(B)不发生，则称该事件为事件(A)与事件(B)的差，记为(A-B)。

互斥事件

若事件(A)与事件(B)不能同时发生，即(Acap B=emptyset)，则称事件(A)与事件(B)为互斥事件。

对立事件

若事件(A)与事件(B)有且仅有一个必然发生，即(Acup B=Omega)，(Acap B=emptyset)，则称事件(A)与事件(B)为对立事件。事件(B)称为事件(A)的逆事件，记为(overline A)，事件(A)也称为事件(B)的逆事件，记为(overline B)。

进阶知识

条件概率

设(A)，(B)为(Omega)中的两个事件，且(P(A)>0)，则(P(Acap B)/P(A))为事件(A)发生的情况下事件事件(B)发生的概率，记为(P(B|A))。

全概率公式

设样本空间为(Omega)，事件(A_1,A_2,...,A_n)满足：

(1.) 两两互斥
(2.) (sum_{i=1}^nP(A_i)=Omega)
(3.) (forall iin[1,n],P(A_i)>0)

则称(A_1,A_2,...,A_n)为(Omega)的一个划分。

若(A_1,A_2,...,A_n)为样本空间(Omega)的一个划分，(B)为样本空间中的一个随机试验，则有：

[P(B)=sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) ]

证明：

[P(B)=sum_{i=1}^nP(Bcap A_i)=sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) ]

全概率公式的推论

设(Omega)为样本空间，(A_1,A_2,...,A_n)为(Omega)中互斥的(n)个事件，(B)为一个随机试验，且满足(forall iin[1,n],Bsubset A_i)，则有：

[P(B)=sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) ]

数学期望

定义

若随机变量(X)的取值有(x_1,x_2,...)，一个随机事件可以表示为(X=x_i)，其概率为(P(X=x_i)=p_i)，则称(E(X)=sum x_ip_i)为随机变量(X)的数学期望。

简单地说，数学期望即为一个随机变量的取值与其概率的乘积之和。

性质

数学期望是线性函数，满足(E(aX+bY)=a* E(X)+b*E(Y))

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<后记>