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Zap
Description
FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a ，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。
Input Format
第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个 正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）
Output Format
对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。
Sample Input
2
4 5 2
6 4 3
Sample Output
3
2
解析
按照题意，可以直接设一个数论函数$$f(d)=sum_{x=1}^asum_{y=1}^b[gcd(x,y)=d]$$
代表([1,a],[1,b])范围内最大公因数为(d)的二元组个数。
可是这个函数好像比较难求，考虑(Möbius)反演。我们发现有函数
[F(n)=sum_{n|d}f(d)
]
比较好求。即(F(n))代表([1,a],[1,b])范围内最大公约数为(n)倍数的二元组个数，只需满足二元组((x,y))都是(n)倍数即可，所以有
[F(n)=lfloor frac{a}{n}
floorlfloor frac{b}{n}
floor
]
然后套(Möbius)定理，得到
[f(d)=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})F(n)
]
对于求解(f(d))，有
[f(d)=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})F(n)=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})lfloor frac{a}{n}
floorlfloor frac{b}{n}
floor
]
设(t=frac{n}{d})，由于(lfloor frac{a}{n} floorlfloor frac{b}{n} floor)在(nleqmin(a,b))时有值，所以(1leq tleqfrac{min(a,b)}{d})，则
[f(d)=sum_{t=1}^{frac{min(a,b)}{d}}mu(t)lfloor frac{a}{td}
floorlfloor frac{b}{td}
floor
]
然后就可以求(f(d))的值了，由于系数(lfloor frac{a}{td} floorlfloor frac{b}{td} floor)是下取整形式的，就可以整除分块一下，对每一块相同的部分一起计算一下即可。
(Code:)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=60020,Uplim=5e4;
int a,b,k,vis[N],Prime[N],mui[N],cnt,sum[N],ans;
inline void input(void)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
}
inline void sieve(void)
{
mui[1] = 1;
for (int i=2;i<=Uplim;i++)
{
if (!vis[i])Prime[++cnt] = i , mui[i] = -1;
for (int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=Uplim;j++)
{
vis[ i*Prime[j] ] = true;
if (i%Prime[j]==0)break;
mui[ i*Prime[j] ] = -mui[i];
}
}
}
inline void init(void)
{
for (int i=1;i<=Uplim;i++)
sum[i] = sum[i-1] + mui[i];
}
inline void solve(void)
{
ans = 0 , a /= k , b /= k;
for (int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
{
r = min( a/(a/l) , b/(b/l) );
ans += (a/l) * (b/l) * (sum[r]-sum[l-1]);
}
}
int main(void)
{
sieve();
init();
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
input();
solve();
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}
<后记>