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数组的最大代价(51nod 1270)
Description
数组A包含N个元素A1, A2......AN。数组B包含N个元素B1, B2......BN。并且数组A中的每一个元素Ai，都满足1 <= Ai <= Bi。数组A的代价定义如下：
[S=sum_{i=2}^{N}|A_i-A_{i-1}|
]
（公式表示所有两个相邻元素的差的绝对值之和）
给出数组B，计算可能的最大代价S。
Input Format
第1行：1个数N，表示数组的长度(1 <= N <= 50000)。
第2 - N+1行：每行1个数，对应数组元素Bi(1 <= Bi <= 10000)。
Output Format
输出最大代价S。
Sample Input
5
10
1
10
1
10
Sample Output
36
解析
化简题目大意可以得知：即求一个数组限制下的相邻两项最大差值和。
有一个很简单的暴力DP思路如下：
设(f[i][j])代表前(i)项当中，第(i)个数字取(j)的最大和。
(f[i][j]=max{f[i-1][k]+|j-k|})
((i=1 - n,j=1 - B_i,k=1 - B_{i-1}))
时间复杂度(O(nMax{b_i}^2))
不怕暴力TLE，就怕暴力不敢想。没错，最简单的暴力就是这道题的关键。
我们可以用贪心对这个暴力进行降维打击优化。
最显然的贪心，构造(A_i)时极端化能得到全局最优解。即：(A_i)的最优取值方案只有两种可能，(1)或(B_i)，这样可以让相邻两项的差的绝对值尽可能大。
那么(j)，(k)都只能取最大值或(1)，直接实现(O(1))转移。可以优化一下状态：设(f[i][0/1])代表前(i)项当中，第(i)个数字取(1)(第二维为0)或(B_i)(第二维为1)的最大和。
状态转移方程：
[f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]+|B_{i-1}-1|)\f[i][1]=max(f[i-1][0]+|B_i-1|,f[i-1][1]+|B_i-B_{i-1}|)
]
可以滚动数组一下把第一维的空间也优化了。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &k)
{
int w=0,x=0;char ch;
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
k=(w?-x:x);return;
}
const int N=50000+80;
int n,b[N],f[2][2];
inline void input(void)
{
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++)read(b[i]);
}
inline void dp(void)
{
f[1][0]=f[1][1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
f[i&1][0]=max(f[i-1&1][0],f[i-1&1][1]+abs(b[i-1]-1));
f[i&1][1]=max(f[i-1&1][0]+abs(b[i]-1),f[i-1&1][1]+abs(b[i]-b[i-1]));
}
}
int main(void)
{
input();
dp();
printf("%d
",max(f[n&1][0],f[n&1][1]));
}
考点：算法思想的结合运用。
<后记>