『扩展欧几里得算法 Extended Euclid』

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<正文>

Euclid算法(gcd)

在学习扩展欧几里得算法之前，当然要复习一下欧几里得算法啦。
众所周知，欧几里得算法又称gcd算法，辗转相除法，可以在(O(log_2b))时间内求解((a,b))(a，b的最大公约数)。
其核心内容可以陈述为:((a,b)=(b,a\%b))，然后反复迭代该式缩小(a,b)规模，直到(b=0)，得到a为最大公约数。

证明

设两数为(a b(b<a))，求它们最大公约数的步骤如下：用(b)除(a)，即(a/b=q…..r)，得(a＝bq＋r(0≤r<b))，即为余数，(q)是这个除法的商)。若(r=0)，则(b)是(a)和(b)的最大公约数，(a)，(b)存在倍数关系。若(r≠0),则继续考虑。

首先，应该明白的一点是任何 (a) 和 (b) 的公约数都是 (r) 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 (r) 写成 (r=a-bq)。现在，如果 (a) 和 (b) 有一个公约数 (d)，而且设 (a=sd , b=td)， 那么 (r = sd-tdq = (s-tq)d)。因为这个式子中，所有的数(包括 (s-tq))都为整数，所以 (r) 可以被 (d) 整除。

对于所有的 (d) 的值，这都是正确的。所以 (a) 和 (b) 的最大公约数也是 (b)(因为(b< a)，所有取b继续运算才能不断缩小规模，直至两数有倍数关系) 和 (r) 的最大公约数。因此我们可以继续对 (b) 和 (r) 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 (r=0) 的结果，我们也就得到了 (a) 和 (b) 的最大公约数

实现

(Code:)

inline int Euclid(int a,int b){return b==0?a:Eucild(b,a%b);}

Extended Euclid算法(exgcd)

那么接下来就是扩展欧几里得啦。
正如其名，扩展欧几里得算法就是基于欧几里得算法的扩展运用。该算法用于解决一下模型的问题：

求解关于(x,y)的二元不定方程(ax+by=c)的整数解

在讲解算法之前，需要先了解该算法的核心，即裴蜀定理：

对任何整数(a,b)，关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):(ax+by=c)，方程有整数解当且仅当(c)是((a,b))的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明

1.必要性证明：如果有整数解,则(c)是(p)的倍数
令(p=(a,b))，设(a=a'p)，(b=b'p)，则有((a',b')=1)成立。那么

[ax+by=c \⇒a'px+b'py=c \⇒p(a'x+b'y)=c ]

那么(c)就是(p)的一个因数，所以(p|c)得证。

2.充分性证明：如果(c)是(p)的倍数,则(ax+by=c)有整数解
令(p=(a,b))，记欧几里得算法中每一次辗转得到的数对为((a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n))，其中，((a_1,b_1))即为((a,b))，((a_n,b_n))即为((p,0))，符合辗转相除法的流程。
对于((a_n,b_n))，求方程(a_nx+b_ny=c)的解，由于(a_n=p,b_n=0)，我们可以构造一组解：

[egin{cases} x_n=frac{c}{p} \∀y_nin Z end{cases} ]

适用于((a_n,b_n))，且((x_n,y_n))一定为整数(因为(p|c)，(y_n)取任意整数)。

至此，数学归纳法的底基证明完毕。

由于辗转相除法，我们可以得知

[a_n=b_{n-1} ① \b_n=a_{n-1}\%b_{n-1} \⇒b_n=a_{n-1}-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor b_{n-1} ② ]

我们刚才已经推得：(a_nx+b_ny=c)的一组整数解((x_n,y_n))，那么可以把(①②)两式代入(a_nx+b_ny=c)得：

[(b_{n-1})x+(a_{n-1}-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor b_{n-1})y=c ]

且对于该方程，解((x_n,y_n))仍适用，即：

[(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor b_{n-1})y_n=c ]

成立，可以进行推导：

[(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor b_{n-1})y_n=c \⇒b_{n-1}x_n+a_{n-1}y_n-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor b_{n-1} y_n=c \⇒a_{n-1}y_n+b_{n-1}(x_n-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor y_n)=c ③ ]

注意到两项的系数分别为(a_{n-1},b_{n-1})，所以对于方程(a_{n-1}x+b_{n-1}y=c)，通过③式可以直接得到一组解：

[egin{cases} x_{n-1}=y_n \y_{n-1}=x_n-lfloor a_{n-1}/b_{n-1} floor y_n end{cases} ]

由此，我们利用辗转相除法的关系，通过方程(a_nx+b_ny=c)的一组解((x_n,y_n))，推得了方程(a_{n-1}x+b_{n-1}y=c)的一组解((x_{n-1},y_{n-1}))。
同样地，我们可以由((x_i,y_i))的一组解，得到方程(a_{i-1}x+b_{i-1}y=c)的一组解((x_{i-1},y_{i-1}))

[egin{cases} x_{i-1}=y_i \y_{i-1}=x_i-lfloor a_{i-1}/b_{i-1} floor y_i end{cases} ]

由上，数学归纳法完成证明：如果我们得知(a_nx+b_ny=c)的一组解((x_n,y_n))，且((a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n))是由辗转相除法得到的序列，那么我们就可以通过以上方法得到原方程(a_1x+b_1y=c)的解((x_1,y_1))。

然而，我们已经通过构造法得到(a_nx+b_ny=c)的一组解((x_n,y_n))，且保证c是p的倍数时，整数解((x_n,y_n))一定存在。故c是p的倍数时，方程(ax+by=c)一定有整数解。充分性得证。

实现

回归正题，看扩展欧几里得算法。
千万不要想着不看证明咯。裴蜀定理的充分性证明过程就是扩展欧几里得算法的流程。
先由辗转相除法求解((a,b))，得到(p=(a,b))
同时，构造解((x_n,y_n))

[egin{cases} x_n=frac{c}{p} \∀y_nin Z end{cases} ]

在递归的回溯过程中，利用公式：

[egin{cases} x_{i-1}=y_i \y_{i-1}=x_i-lfloor a_{i-1}/b_{i-1} floor y_i end{cases} ]

倒推每一组((a_i,b_i))的解((x_i,y_i))。
最后得到((a,b))和原方程(ax+by=c)的一组解((x,y))。
至此，扩展欧几里得算法完成。

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int Extended_Euclid(int a,int &x,int b,int &y,int c)
{
	if(b==0){x=c/a,y=0;return a;}
	else
	{
		int p=Extended_Euclid(b,x,a%b,y,c);
		int x_=x,y_=y;
		x=y_; y=x_-a/b*y_; 
		return p;
	}
}
int main(void)
{
	int a,b,c;
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
	int p,x,y;
	p=Extended_Euclid(a,x,b,y,c);
	printf("(%d,%d)=%d
",a,b,p);
	printf("x=%d,y=%d
",x,y);
}

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<后记>