• [bzoj 3622]已经没有什么好害怕的了


    传送门

    Description

    Solution

    广义容斥原理

    首先对于要求一个恰好为(k)的答案,我们可以转化为不少于(k)的答案,然后容斥

    怎么求不少于(k)的答案呢,我们通常是钦定几个条件必然满足,剩下的就是排列组合乘进去

    因为显然会算重,所以要容斥

    对于此题:

    我们先对两个序列排序

    (f[i][j])表示前第一个序列前(i)个数与第二个序列匹配,大于的匹配数不少于(k)的方案数

    [f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*[k-(i-1)] ]

    这里的(k) 指的是在第二个序列中小于(a[i])的数的个数

    显然,仅仅这样是不够的,因为(f[i][j])还要再乘上((n-i)!),表示剩下的数的匹配方案

    那么剩下的直接二项式容斥就可以了


    Code 

    #include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
    #define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
    #define reg register
    #define int ll
    inline int read()
    {
    	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    	return x*f;
    }
    const int MN=2005,mod=1e9+9;
    #define Mul(x,y) (1ll*x*y%mod)
    #define Add(x,y) ((x+y+mod)%mod)
    int n,k,a[MN],b[MN],c[MN],fac[MN],C[MN][MN],f[MN][MN],ans;
    signed main()
    {
    	n=read();k=read();
    	reg int i,j;
    	for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    	for(i=1;i<=n;++i) b[i]=read();
    	std::sort(a+1,a+n+1);std::sort(b+1,b+n+1);
    	for(fac[0]=i=1;i<=n;++i)fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
    	C[0][0]=1;
    	for(i=1;i<=n;++i)
    	{
    		C[i][0]=C[i][i]=1;
    		for(j=1;j<i;++j) C[i][j]=Add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
    	}
    	for(i=1,j=0;i<=n;++i)
    	{
    		while(b[j+1]<a[i]&&j+1<=n) ++j;
    		c[i]=j;
    	}
    	f[0][0]=1;
    	for(i=1;i<=n;++i)for(f[i][0]=j=1;j<=i;++j)
    	{
    		f[i][j]=Add(f[i][j],f[i-1][j]);
    		f[i][j]=Add(f[i][j],Mul(f[i-1][j-1],max(0,c[i]-j+1)));
    	}
    	if((n+k)&1) return 0*puts("0");
    	for(j=i=(n+k)/2;i<=n;++i) f[n][i]=Mul(f[n][i],fac[n-i]),ans=Add(ans,((i-j)&1?mod-1:1)*Mul(f[n][i],C[i][j]));
    	printf("%d
    ",ans);
    	return 0;
    } 
    


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