传送门
Description
Solution
首先对于要求一个恰好为(k)的答案,我们可以转化为不少于(k)的答案,然后容斥
怎么求不少于(k)的答案呢,我们通常是钦定几个条件必然满足,剩下的就是排列组合乘进去
因为显然会算重,所以要容斥
对于此题:
我们先对两个序列排序
令(f[i][j])表示前第一个序列前(i)个数与第二个序列匹配,大于的匹配数不少于(k)的方案数
[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*[k-(i-1)] ]这里的(k) 指的是在第二个序列中小于(a[i])的数的个数
显然,仅仅这样是不够的,因为(f[i][j])还要再乘上((n-i)!),表示剩下的数的匹配方案
那么剩下的直接二项式容斥就可以了
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define reg register
#define int ll
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int MN=2005,mod=1e9+9;
#define Mul(x,y) (1ll*x*y%mod)
#define Add(x,y) ((x+y+mod)%mod)
int n,k,a[MN],b[MN],c[MN],fac[MN],C[MN][MN],f[MN][MN],ans;
signed main()
{
n=read();k=read();
reg int i,j;
for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
for(i=1;i<=n;++i) b[i]=read();
std::sort(a+1,a+n+1);std::sort(b+1,b+n+1);
for(fac[0]=i=1;i<=n;++i)fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
C[0][0]=1;
for(i=1;i<=n;++i)
{
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(j=1;j<i;++j) C[i][j]=Add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
}
for(i=1,j=0;i<=n;++i)
{
while(b[j+1]<a[i]&&j+1<=n) ++j;
c[i]=j;
}
f[0][0]=1;
for(i=1;i<=n;++i)for(f[i][0]=j=1;j<=i;++j)
{
f[i][j]=Add(f[i][j],f[i-1][j]);
f[i][j]=Add(f[i][j],Mul(f[i-1][j-1],max(0,c[i]-j+1)));
}
if((n+k)&1) return 0*puts("0");
for(j=i=(n+k)/2;i<=n;++i) f[n][i]=Mul(f[n][i],fac[n-i]),ans=Add(ans,((i-j)&1?mod-1:1)*Mul(f[n][i],C[i][j]));
printf("%d
",ans);
return 0;
}
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