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    对$t$的操作即在$t$中插入一对括号,逆过程也即删除一对括号

    换言之,$s$能被$t$得到当且仅当通过删除$s$中若干对括号可以得到$t$,问题也即求$\min t$

    结论:通过删除$s$中若干个合法子串(指合法括号序列)可以得到$\min t$

    考虑原来得到$\min t$的过程,对于其中每一对删除的括号,两个括号中间的部分必然也被删除(否则可以让删除的左括号更右或右括号更左,显然字典序不增)

    进一步的,考虑一个极长删除区间,其中的括号删除时,对应的括号也总在此区间内(否则不极长),因此也即构成了一个合法括号序列,将这些区间分别删除即可

    另一方面,合法子串显然也可以拆解为若干对括号,因此不妨以此为问题

    另外,合法括号序列中删除若干个合法子串后显然仍合法,即删除顺序不影响(任意)

    考虑dp,令$ans_{i}$为$s[i,|s|]$的答案,不难得到$ans_{i}=\min(s_{i}+ans_{i+1},\min_{s[i,j)合法}ans_{j})$

    记$i$向右最短非空合法子串为$s[i,next_{i})$,注意到$s[i,j)$合法则$s[next_{i},j)$也合法,即$ans_{next_{i}}$已经包含后者,不妨仅转移$j=next_{i}$,也即$ans_{i}=\min(s_{i}+ans_{i+1},ans_{next_{i}})$

    下面,考虑如何实现此过程:

    建议一棵树,以$n+1$为根,$i$到根路径上的字符构成$ans_{i}$(类似于trie树)

    考虑求$ans_{i}$,初始以$s_{i}+ans_{i+1}$为转移,即将$i$作为$i+1$的儿子,边上的字符为$s_{i}$

    接下来,若$next_{i}$到根路径的字符串比$i$小,则将$i$作为$next_{i}$父亲的儿子,边上的字符为$s_{next_{i}}$

    关于比较,注意到总是新增叶子,使用倍增+哈希找到第一个不同的位置即可

    时间复杂度为$o(n\log n)$,可以通过

    (代码实现成了$o(n\log^{2}n)$,直接在倍增中比较即可去掉二分)

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 using namespace std;
     3 #define N 300005
     4 #define L 19
     5 #define ull unsigned long long
     6 int n,st[N],nex[N],pos[N],dep[N],fa[N][L];
     7 ull mi[N],Hash[N][L];
     8 char s[N];
     9 int get_pos(int k,int d){
    10     for(int i=0;i<L;i++)
    11         if (d&(1<<i))k=fa[k][i];
    12     return k;
    13 }
    14 ull get_Hash(int k,int d){
    15     ull ans=0;
    16     for(int i=0,s=0;i<L;i++)
    17         if (d&(1<<i)){
    18             ans=ans+Hash[k][i]*mi[s];
    19             k=fa[k][i],s|=(1<<i);
    20         }
    21     return ans;
    22 }
    23 void add(int k,int f,int p){
    24     pos[k]=p,dep[k]=dep[f]+1;
    25     fa[k][0]=f,Hash[k][0]=p;
    26     for(int i=1;i<L;i++){
    27         fa[k][i]=fa[fa[k][i-1]][i-1];
    28         Hash[k][i]=Hash[k][i-1]+Hash[fa[k][i-1]][i-1]*mi[1<<i-1];
    29     }
    30 }
    31 bool cmp(int x,int y){
    32     int l=0,r=min(dep[x],dep[y]);
    33     while (l<r){
    34         int mid=(l+r+1>>1);
    35         if (get_Hash(x,mid)==get_Hash(y,mid))l=mid;
    36         else r=mid-1;
    37     }
    38     x=get_pos(x,l),y=get_pos(y,l);
    39     return pos[x]<pos[y];
    40 }
    41 int main(){
    42     mi[0]=1;
    43     for(int i=1;i<N;i++)mi[i]=3*mi[i-1];
    44     scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
    45     for(int i=1;i<=n;i++)
    46         if (s[i]=='(')st[++st[0]]=i;
    47         else{
    48             if (st[0])nex[st[st[0]--]]=i+1;
    49         }
    50     dep[0]=-1;
    51     for(int i=n;i;i--){
    52         add(i,i+1,(s[i]==')')+1);
    53         if ((nex[i])&&(cmp(nex[i],i)))add(i,fa[nex[i]][0],pos[nex[i]]);
    54     }
    55     for(int i=1;fa[i][0];i=fa[i][0]){
    56         if (pos[i]==1)printf("(");
    57         else printf(")");
    58     }
    59     printf("\n");
    60     return 0;
    61 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15632250.html
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