• [luogu7962]方差


    记$b_{i}=a_{i+1}-a_{i}$,不难发现对$i$操作即是交换$b_{i-1}$和$b_{i}$,若干次操作也即对$b_{i}$重新排列

    实际上,方差也即$\min_{x}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-x)^{2}$(展开后可得$x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}$时取到最小),那么不妨先确定$x$,并考虑$b_{i}$前缀和第一处$>x$的位置,显然其之前单调递减、其之后单调递增(均不严格)

    再忽略$x$,即存在一个位置,使得其之前单调递减、其之后单调递增(均不严格)

    换言之,也可以看作将$b_{i}$(从小到大)排序后,不断在当前的两侧插入

    进一步的,$n^{2}$倍的方差展开后又即$n\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}-(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^{2}$,那么即可dp

    具体的,令$f_{i,s}$表示插入到$b_{i}$时,当前$\sum a_{i}=s$的最小$\sum a_{i}^{2}$,对$b_{i}$​插入的位置分类转移,即得
    $$
    f_{i,s}=\min(f_{i-1,s-\sum_{j=1}^{i}b_{j}}+(\sum_{j=1}^{i}b_{j})^{2},f_{i-1,s-i\cdot b_{i}}+2(s-i\cdot b_{i})b_{i}+i\cdot b_{i}^{2})
    $$
    记$m=a_{n}$,显然$s\le nm$,那么时间复杂度为$o(n^{2}m)$,空间复杂度(对$i$滚动)为$o(nm)$,可以通过

    另外,对于$n>10^{4}$的测试点,至多只有$m$个非0的$b_{i}$,而都是0显然插入的位置并没有影响,预先插入即可,时间复杂度降为$o(nm^{2})$,也可以通过

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 using namespace std;
     3 #define N 500005
     4 #define ll long long
     5 int n,s,a[N],b[N],f[N];
     6 ll ans;
     7 int main(){
     8     scanf("%d",&n);
     9     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    10     for(int i=1;i<n;i++)b[i]=a[i+1]-a[i];
    11     sort(b+1,b+n);
    12     for(int i=1;i<n;i++)a[i]=a[i-1]+b[i];
    13     memset(f,0x3f,sizeof(f));
    14     f[0]=0;
    15     for(int i=1;i<n;i++){
    16         if (!b[i])continue;
    17         s+=i*b[i];
    18         for(int j=s;j>=0;j--){
    19             f[j]=1e9;
    20             if (j>=a[i])f[j]=min(f[j],f[j-a[i]]+a[i]*a[i]);
    21             if (j>=i*b[i])f[j]=min(f[j],f[j-i*b[i]]+2*(j-i*b[i])*b[i]+i*b[i]*b[i]);
    22         }
    23     }
    24     ans=1e18;
    25     for(int i=0;i<=s;i++)ans=min(ans,(ll)n*f[i]-(ll)i*i);
    26     printf("%lld\n",ans);
    27     return 0;
    28 } 
    View Code
  • 相关阅读:
    解决EXC_BAD_ACCESS错误的一种方法--NSZombieEnabled
    关于deselectRowAtIndexPath
    CGRectInset、CGRectOffset、等对比整理
    代码设置UITableViewCell 各个组件间距
    UITableViewCell计算行高
    设置UITableView中UIImage的大小
    UILbale自动换行
    根据字体多少使UILabel自动调节尺寸
    ios通过url下载显示图片
    Python【requests】第三方模块
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15626110.html
Copyright © 2020-2023  润新知