将$E_{i}$从小到大排序（显然不会相同），假设$E_{p_{i}}$为从小到大第$i$小
此时，必然有$E_{p_{1}}=1$，否则可以将$E_{p_{i}}$都减去$E_{p_{1}}-1$，之后即需要最小化$E_{p_{n}}$
当$p_{i}$确定后，题目中第2个条件即可变为$forall 1le i<jle n,E_{p_{j}}-E_{p_{i}}ge dist(p_{i},p_{j})$
取$j=i+1$时，即可推出$forall 1le i<n,E_{p_{i+1}}-E_{p_{i}}ge dist(p_{i},p_{i+1})$
另一方面，此时即有$E_{p_{j}}-E_{p_{i}}=sum_{k=i}^{j-1}E_{p_{k+1}}-E_{p_{k}}ge sum_{k=i}^{j-1}dist(p_{k},p_{k+1})ge dist(p_{i},p_{j})$
（关于最后一个不等号，根据$dist(x,y)le dist(x,z)+dist(z,y)$即可得到）
换言之，题目中第2个条件等价于$j=i+1$时的条件，那么$E_{p_{n}}$最小值即为$sum_{i=1}^{n-1}dist(p_{i},p_{i+1})+1$
现在，问题即变为确定$p_{i}$，以最小化$E_{p_{n}}$（也即$sum_{i=1}^{n-1}dist(p_{i},p_{i+1})+1$）
考虑将其补上$dist(p_{1},p_{n})$，此时考虑每一条边对答案的贡献，至少为2，且通过令$p_{i}$为dfs序来构造，可取到此下限，即和为$2(n-1)+1$
令$p_{1}$和$p_{n}$为树直径的两个端点，并以$p_{1}$为根优先搜索不包含$p_{n}$的子树即可构造出对应dfs序，令$d$为直径长度，则最终$E_{p_{n}}$即为$2(n-1)+1-d$
另外求$E_{i}$不需要求lca来求$dist(p_{i},p_{i+1})$，由于$sum_{i=1}^{n-1}dist(p_{i},p_{i+1})$是$o(n)$的，直接在树上暴力移动，并判定其是否是后代即可
另外，题解中还提到了如何$o(n)$实现spj，只需要用桶排来对$p_{i}$排序，并以此判定相邻两者插值是否恰好为其距离即可
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 200005 4 struct Edge{ 5 int nex,to; 6 }edge[N<<1]; 7 int E,n,x,y,head[N],dfn[N],f[N],sz[N],dep[N],P[N],ans[N]; 8 bool check(int x,int y){ 9 return (dfn[x]<=dfn[y])&&(dfn[y]<dfn[x]+sz[x]); 10 } 11 void add(int x,int y){ 12 edge[E].nex=head[x]; 13 edge[E].to=y; 14 head[x]=E++; 15 } 16 int dis(int x,int y){ 17 int ans=0; 18 while (!check(x,y)){ 19 ans++; 20 x=f[x]; 21 } 22 while (!check(y,x)){ 23 ans++; 24 y=f[y]; 25 } 26 return ans; 27 } 28 void dfs(int k,int fa,int s){ 29 dfn[k]=++dfn[0]; 30 f[k]=fa; 31 sz[k]=1; 32 dep[k]=s; 33 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 34 if (edge[i].to!=fa){ 35 dfs(edge[i].to,k,s+1); 36 sz[k]+=sz[edge[i].to]; 37 } 38 } 39 void construct(int k,int fa){ 40 P[++P[0]]=k; 41 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 42 if ((edge[i].to!=fa)&&(!check(edge[i].to,y)))construct(edge[i].to,k); 43 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 44 if ((edge[i].to!=fa)&&(check(edge[i].to,y)))construct(edge[i].to,k); 45 } 46 int main(){ 47 scanf("%d",&n); 48 memset(head,-1,sizeof(head)); 49 for(int i=1;i<n;i++){ 50 scanf("%d%d",&x,&y); 51 add(x,y); 52 add(y,x); 53 } 54 dfs(1,0,0); 55 x=y=1; 56 for(int i=2;i<=n;i++) 57 if (dep[x]<dep[i])x=i; 58 dfs(x,0,0); 59 for(int i=2;i<=n;i++) 60 if (dep[y]<dep[i])y=i; 61 construct(x,0); 62 ans[P[1]]=1; 63 for(int i=1;i<n;i++)ans[P[i+1]]=ans[P[i]]+dis(P[i],P[i+1]); 64 for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]); 65 }