[gym102511K]Traffic Blights

为了方便，对于集合$S$，称$kequiv S(mod M)$当且仅当存在$xin S$使得$kequiv x(mod M)$

枚举红绿灯，对每一个点即限制$k$对$g_{i}+r_{i}$取模后的结果，同时相邻两个红绿灯限制相差是$o(1)$的，即可以提取出以下这个模型——

$n$次操作，每次操作给定$M$和$Ssubseteq [0,M)$，新增限制$k otequiv S(mod M)$

每次操作后，求随机整数$k$满足当前所有限制的概率

数据范围为$1le nle 500$，$1le Mle 100$

令$X=2^{3} imes 3^{2} imes 5 imes 7$，那么$forall 1le Mle 100,frac{M}{gcd(M,X)}$为一个素数的幂次或1

枚举随机整数$k$对$X$取模的余数$a$（$0le a<X$），求出在满足给定限制下还满足$kequiv a(mod X)$的概率，将这些概率累加即为答案

令$k=a+tX$，问题即变为对于随机整数$t$，$a+tX$满足所有限制的概率，代入后限制$k otequiv S(mod M)$即可转换为$frac{X}{g}t otequiv S'(mod frac{M}{g})$

（其中$g=gcd(M,X)$，$S'={frac{x}{g}mid (gmid x)and (x+aequiv S(mod M))}$）

由于$gcd(frac{M}{g},frac{X}{g})=1$，再令$S'$所有元素乘上$frac{X}{g}$在模$frac{M}{g}$意义下的逆元，即$t otequiv S'(mod frac{M}{g})$

根据$X$的性质，$frac{M}{g}$必然是素数的幂次或1，假设是$p$的幂次，不妨转换为$p^{lfloorlog_{p}100 floor-ord_{p}(X)}$，此时相同素数的幂次必然都相同，直接对$S'$求并即可

（从同余的角度更容易理解此过程，但不同余方便实现）

最终，模数两两互素，每一个概率相乘即为答案

时间复杂度每一次都需要$o(MX)$去转化这个限制，总复杂度即$o(nMX)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
#define X 2520
struct del{
    int i,P,x;
};
vector<int>v;
vector<del>v_del;
int    n,x,r,g,p[N],visp[N],phi[N],tot[X][N],vis[X][N][N];
double ans;
int gcd(int x,int y){
    if (!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int pow(int n,int m,int mod){
    int s=n,ans=1;
    while (m){
        if (m&1)ans=ans*s%mod;
        s=s*s%mod;
        m>>=1;
    }
    return ans;
}
void add(int p,int m,vector<int>v){
    int g=gcd(m,X),mm=m/g,P=mm,inv=pow(X/g,phi[mm]-1,mm);
    if (P%2==0)P=8;
    if (P%3==0)P=9;
    for(int i=0;i<X;i++)
        for(int j=0;j<v.size();j++){
            int x=(v[j]-i%m+m)%m;
            if (x%g)continue;
            x=x/g*inv%mm;
            for(int k=0;k<P/mm;k++)
                if (!vis[i][P][k*mm+x]){
                    tot[i][P]++;
                    vis[i][P][k*mm+x]=1;
                    if (p)v_del.push_back(del{i,P,k*mm+x});
                }
        }
    ans=0;
    for(int i=0;i<X;i++){
        double s=1;
        for(int j=1;j<=100;j++)s*=1.0*(j-tot[i][j])/j;
        ans+=s;
    }
    while (v_del.size()){
        del o=v_del.back();
        tot[o.i][o.P]--;
        vis[o.i][o.P][o.x]=0;
        v_del.pop_back();
    }
}
int main(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if (!visp[i]){
            p[++p[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<N);j++){
            visp[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j])phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
            else{
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
        }
    }
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&r,&g);
        v.clear();
        for(int j=0;j<r+g;j++)
            if ((j+x)%(r+g)>=r)v.push_back(j);
        add(1,r+g,v);
        printf("%.9f
",ans/X);
        v.clear();
        for(int j=0;j<r+g;j++)
            if ((j+x)%(r+g)<r)v.push_back(j);
        add(0,r+g,v);
    }
    printf("%.9f",ans/X);
}