[atARC098F]Donation

贪心，一定在最后一次经过某节点时付出$b_{u}$，条件是付出后$Wge max(a_{i}-b_{i},0)$（同时也可以仅考虑这个限制，因为$W$在过程中不会增大）

假设“最后一次经过”的顺序为$p_{1},p_{2},...,p_{n}$，则要保证存在$p_{i}$到$p_{i+1}$的路径不经过$p_{1},...,p_{i-1}$，也即对于任意一个后缀，其点集的导出子图连通

倒序模拟这个过程（因为有连通的限制），二分枚举$d=W-sum_{i=1}^{n}b_{i}$，那么可以看作从一个点（$p_{n}$）开始拓展，找到相邻的$x$满足$dge a_{x}-b_{x}$，则可以拓展$x$（作为$p_{n-1}$），重复此过程直至拓展整张图

由于拓展只会增加$d$，因此可以贪心拓展，用优先队列维护最小的$a_{x}-b_{x}$去拓展一定最优，此时时间复杂度为$o(n^{2}log^{2}n)$（因为要枚举$p_{n}$，还有优先队列），无法通过

仍然先枚举$p_{n}$，令$v$为$a_{v}-b_{v}$最大的位置，$G'$为删除$v$后$p_{n}$所在的连通块，从上面的过程来看，在这个贪心下，只有拓展完$G'$后才可能拓展$v$，同时当拓展完$v$后整张图一定都可以拓展

因此，合法条件变为两个：1.$G'$能拓展完；2.$G'$拓展完后$dge a_{v}-b_{v}$，前者是一个子问题，可以继续找到最大的$v'$来处理，直至最后$|V|=1$（即为起点）

将这个结构构成一棵树（类似点分树，只是将重心换成$a_{v}-b_{v}$最大的位置），根据上面的条件，即要求找到$a_{x}-b_{x}le d$的位置，满足$s_{x}+dge a_{fa}-b_{fa}$（其中$s_{x}$为$x$子树中$b$的和）直至根

如何建出这棵树，可以从小到大枚举$a_{i}-b_{i}$，然后去合并相邻且比他小的位置作为儿子，再用并查集维护即可

由于后者的条件与起点关系不大，可以看作从根出发，找到合法且$a_{x}-b_{x}$最小的位置，判断与$d$的大小即可，此时时间复杂度为$o(nlog n)$

还可以枚举起点的位置来做到$o(n)$，即先忽略$a_{x}-b_{x}le d$的限制，求出每一个位置上最小的$d$，记为$f_{k}$，转移为$f_{k}=max(f_{fa},a_{fa}-b_{fa}-s_{k})$，答案为$min_{1le ile n}max(f_{i},a_{i}-b_{i})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define ll long long
struct ji{
    int nex,to;
}edge[N<<1];
vector<int>v[N];
int E,n,m,x,y,ans,head[N],a[N],id[N],rk[N],fa[N],f[N];
ll s[N];
bool cmp(int x,int y){
    return a[x]<a[y];
}
void add(int x,int y){
    edge[E].nex=head[x];
    edge[E].to=y;
    head[x]=E++;
}
int find(int k){
    if (k==fa[k])return k;
    return fa[k]=find(fa[k]);
}
void merge(int x,int y){
    x=find(x),y=find(y);
    if (x!=y){
        fa[x]=y;
        s[y]+=s[x];
        v[y].push_back(x);
    }
}
void dfs(int k){
    ans=min(ans,max(f[k],a[k]));
    for(int i=0;i<v[k].size();i++){
        f[v[k][i]]=f[k];
        if (a[k]>s[v[k][i]])f[v[k][i]]=max(f[k],(int)(a[k]-s[v[k][i]]));
        dfs(v[k][i]);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%lld",&a[i],&s[i]);
        a[i]=max(a[i]-s[i],0LL);
        id[i]=fa[i]=i;
    }
    sort(id+1,id+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)rk[id[i]]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=head[id[i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
            if (rk[edge[j].to]<i)merge(edge[j].to,id[i]);
    ans=a[id[n]];
    dfs(id[n]);
    printf("%lld",ans+s[id[n]]);
}