YY的GCD

洛咕

题意:给定(N,M(N,M<=10^7)),求(sum_{P∈prime}sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^M[gcd(i,j)==P]).

分析:按照套路,设

(f(P)=sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^M[gcd(i,j)==P])

(F(P)=sum_{P|d}f(d))

(F(P))式子是指在1到(N)和1到(M)中各选出一个数,使得这两个数的(gcd)是(P)的倍数,故(F(P)=lfloorfrac NP floorlfloorfrac MP floor)

又由莫比乌斯反演定理得(f(P)=sum_{P|x}μ(frac xP)F(x))

故(f(P)=sum_{P|x}μ(frac xP)lfloorfrac Nx floorlfloorfrac Mx floor)

故(ans=sum_{P∈prime}f(P))

(=sum_{P∈prime}sum_{P|x}μ(frac xP)lfloorfrac Nx floorlfloorfrac Mx floor)

到了这一步就需要思考一下了,如果按照我们之前的做法,那么继续转化式子得(ans=sum_{P∈prime}sum_{x=1}^{min(lfloorfrac NP floor,lfloorfrac MP floor)}μ(frac xP)lfloorfrac Nx floorlfloorfrac Mx floor),时间复杂度为(O(N*lnN*sqrt N)),亲测超时.

所以我们需要另一种优化方法,(ans=sum_{x=1}^{min(N,M)}lfloorfrac Nx floorlfloorfrac Mx floorsum_{P|x,P∈prime}μ(frac xP)),时间复杂度(O(sqrt N+N*lnN)=O(N*lnN))

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
inline int read(){
   int s=0,w=1;char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
   return s*w;
}
const int N=10000005;
int v[N],sum[N],prime[N],mu[N];
inline void get_mu(){
    mu[1]=1;int m=0;
    for(int i=2;i<N;i++){
		if(!v[i]){
	    	v[i]=i;
	    	prime[++m]=i;
	    	mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
	    	if(i*prime[j]>N)break;
	    	v[i*prime[j]]=prime[j];
	    	if(i%prime[j]==0)break;
	    	mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j*prime[i]<N;j++)
	    	sum[j*prime[i]]+=mu[j];
    for(int i=1;i<N;i++)sum[i]+=sum[i-1];
}
int main(){
    get_mu();
    int T=read();
    while(T--){
		int n=read(),m=read();LL ans=0;
		for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
	    	r=min(n/(n/l),m/(m/l));
	    	ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
		}
		printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}