组合数问题(组合数学+二维前缀和)

洛咕

题意:给定n,m,k,对于所有的(0<=i<=n,0<=j<=min(i,m))有多少对((i,j))满足(C_i^j)是k的倍数?

分析:有多组数据,肯定考虑预处理,然后(O(1)回答).(n,m<=2000)可以考虑组合数的线性递推式(C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]),因为只有k的倍数才会对答案产生贡献,所以可以递推的时候直接对k取模,然后二维前缀和(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1])统计的时候只要看是否为零就可以了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*w;
}
int t,k,n,m;
int f[2005][2005],C[2005][2005];
int main(){
    t=read();k=read();
    for(int i=0;i<=2000;i++)
		C[i][0]=C[i][i]=1;
//组合数初始化
    for(int i=1;i<=2000;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
	    	C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%k;
//线性递推,直接模k
    for(int i=1;i<=2000;i++)
		for(int j=1;j<=2000;j++){
	    	f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1];
	    	if(C[i][j]==0&&i>=j)f[i][j]++;
	}
//二维前缀和统计答案
    while(t--){
		n=read();m=read();
		printf("%d
",f[n][m]);
    }
    return 0;
}