[CF GYM102956D] Bank Security Unification

前言

性质结论题。

题目

CF

题目大意：

给 \(n\) 个数，选出一些数使得相邻两个数的与的算术和最大，求这个最大值。(不能改变相对顺序)

\(1\le n\le 10^6;0\le a_i\le 10^{12}.\)

讲解

首先我们不难得到一个 \(O(n^2)\) 的DP，然后考虑如何优化。

不难发现如果依次存在三个数 \(a_i,a_j,a_k\) 使得 \(a_i\&a_k\) 的最高位在 \(a_j\) 处也为 \(1\)，那么我们一定不会丢下 \(a_j\) 而只选 \(a_i,a_k\)。

所以我们可以考虑枚举这一位，之前选之前最近的一个存在这一位的数作为前置转移点即可。

时间复杂度 \(O(n\log_2a)\)。

代码

//12252024832524
#include <bits/stdc++.h>
#define TT template<typename T>
using namespace std; 

typedef long long LL;
const int MAXN = 1000005;
int n,pre[45];
LL a[MAXN],dp[MAXN],ans;

LL Read()
{
	LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
	return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
	if(x > 9) Put1(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n = Read();
	for(int i = 1;i <= n;++ i) a[i] = Read();
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
	{
		for(int j = 0;j <= 40;++ j)
			if(a[i] >> j & 1)
			{
				dp[i] = Max(dp[i],dp[pre[j]]+(a[i]&a[pre[j]]));
				pre[j] = i;
				ans = Max(ans,dp[i]);
			}
		dp[i] = Max(dp[i],ans);//attention!
	}
	Put(ans,'\n');
	return 0;
}