内容
欧拉定理((a)与(m)互质)：
[a^{varphi(m)}≡1(modspace m)
]
其中(varphi)表示欧拉函数
证明
以下证明都是在(modspace m)意义下
首先我们用(x_1,x_2,dots,x_{varphi(m)})表示小于(m)且和(m)互质的所有数
(p_i=a*x_i)
①对于(p_1,p_2,dots,p_{varphi(m)})，两两不同余
证明：
反证法：
假设有一个(p_i)和(p_j)同余((p_i<p_j))，那么(a*(x_i-x_j)=0)，而(a)与(m)互质，所以要想同余，那么((x_i-x_j))是(m)的倍数，而(x_i)和(x_j)都小于(m)，所以((x_i-x_j))不是(m)的倍数
证毕
当然对于(x_1,x_2,dots,x_{varphi(m)})也是一样的
②每个(p_i)和(m)互质
证明：
(p_i=x_i*a)，而(gcd(x_i,m)=1,gcd(a,m)=1)，所以(gcd(p_i,m)=1)
证毕
③最后的证明
根据①②
[prod_{i=1}^{varphi(m)}p_i=prod_{i=1}^{varphi(m)}x_i
]
两边同除(prod_{i=1}^{varphi(m)} x_i)
[prod_{i=1}^{varphi(m)}p_i/x_i=prod_{i=1}^{varphi(m)}x_i/x_i
]
即：
[prod_{i=1}^{varphi(m)}a=prod_{i=1}^{varphi(m)}1
]
嘿嘿嘿：
[a^{varphi(m)}≡1(modspace m)
]
特殊情况
①费马小定理
[a^{p-1}≡1(modspace p)
]
其中(p)是质数
当然费马小定理已经被证明了
因为(varphi(p)=p-1)
②扩展欧拉定理
当(a)和(m)不互质的时候怎么办呢？
首先互质的时候：
[a^c≡a^{cmodvarphi(m)}(modspace m)
]
而现在增加了不互质的情况：
[a^c≡egin{cases}a^{cmodvarphi(m)} & gcd(a,m)=1\a^c & gcd(a,m)
e1,c < varphi(m)\a^{(cmodvarphi(m))+varphi(m)} & gcd(a,m)
e1,c ge varphi(m)end{cases}
]
证明：
咕咕咕