• 最短路知识点总结(Dijkstra,Floyd,SPFA,Bellman-Ford)


    Dijkstra算法:

    解决的问题:

        带权重的有向图上单源最短路径问题。且权重都为非负值。如果采用的实现方法合适,Dijkstra运行时间要低于Bellman-Ford算法。

    思路:

        如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]},应用了贪心的思想。根据这种思路,直接给出Dijkstra算法的伪代码,他可用于计算正权图的单源最短路径,同时适用于无向图和有向图。

    清除所有点的标号

    设d[0]=0,其他d[i]=INF

    循环n次

    {

        在所有点的标号中,选出d值最小的结点x

        给结点x标记

        对于从x出发的所有边(x,y),更新d[y]=min{d[y],d[x]+w(x,y)}

    }

    除了求出最短路的长度外,使用Dijkstra算法也能很方便地打印出结点0到所有节点的最短路本身.

    代码实现:

    void dijkstra(int start)//从start点开始
    {
        int i,j,k;
        memset(vis,0,sizeof(vis));//标记是否访问过
        for(i=1; i<=n; i++)//n为总点数
        {
            if(i==start)
                dis[i]=0;
            else
                dis[i]=INF;
        }
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            int r;
            int min=INF;
            for(j=1; j<=n; j++)
                if(!vis[j]&&dis[j]<min)
                {
                    min=dis[j];
                    r=j;
                }
            vis[r]=1;
            for(k=1; k<=n; k++)//对所有从r出发的边进行松弛
                if(dis[k]<(dis[r]+g[r][k]))
                    dis[k]=dis[k];
                else
                    dis[k]=dis[r]+g[r][k];
        }
        return;
    }
    

      Floyd算法:

             负权重的边可以存在,但不能存在权重为负值的环路

             算法考虑的是一条最短路径上的中间结点。

                  算法核心思想:  三圈for循环

                     

    for (int k = 0; k < graph.getNumVex(); k++) {
    
     
    
                         for (int v = 0; v < graph.getNumVex(); v++) {
    
     
    
                                for (int w = 0; w < graph.getNumVex(); w++) {
    
     
    
                                       if (d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]) {
    
     
    
                                              d[v][w] = d[v][k] + d[k][w];
    
     
    
                                              p[v][w] = p[v][k];// p[v][w]是v--w最短路径上 v的下一顶点
    
    
                                       }
     
    
                                }
     
    
                         }
     
    
                  }
    

      

    第一层 k是作为中间顶点

    第二层 v是作为起始顶点

    第三层 w是作为终点顶点

    内层核心代码

    以v为起点,w为终点,再以k作为v和w之间的中间点,去判断d[v][ w]和d[v][k] + d[k][w]的大小关系,如果d[v][w] > d[v][k] + d[k][w],说明找到从v→w的更短路径了,此时更改d[v][w]的值为d[v][k] + d[k][w]。

    p[v][w]的值也要相应改成p[v][k]的值,因为 p[v][k]的值是v→k最短路径上v的后继顶点,而v→w这段最短路径是连接在v→k这段路径后面的,所以令所当然p[v][w]也要指向p[v][k]。

    注意:最外层的k循环,前面的n此循环的结果跟后面n+1次循环的错做过程是息息相关,

           三次循环完成后,各个顶点之间的最短路径权重会存储在d矩阵中:d[i][j]表示i→j的最短路径权重。

    邻接矩阵算法实现:

    void Floyd(MGraph g)
    {
       int A[MAXV][MAXV];
       int path[MAXV][MAXV];
       int i,j,k,n=g.n;
       for(i=0;i<n;i++)
          for(j=0;j<n;j++)
          {   
                 A[i][j]=g.edges[i][j];
                path[i][j]=-1;
           }
       for(k=0;k<n;k++)
       { 
            for(i=0;i<n;i++)
               for(j=0;j<n;j++)
                   if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
                   {
                         A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                         path[i][j]=k;
                    } 
         } 
    }
    

     Bellman-Ford算法 

       解决的问题:

                 一般情况下的单源最短路径问题,这里权重可以为负值。

    Bellman-ford算法返回一个布尔值,一表明是否存在一个从源结点可以到达的权重为负的环路。如果存在这样一个环路,算法将告诉我们不存在解决方案,如果没有这种环路的存在算法将给出最短路径和他们的权重。

       Bellman-Ford算法的流程如下:
                 给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0;

        以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
        对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
        若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;

        为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出     单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

        可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

      Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
        第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
        第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
        第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
        d(v) > d (u) + w(u,v)
        则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
     
    之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    #define MAX 0x3f3f3f3f
    #define N 1010
    int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点
    typedef struct Edge //边
    {
        int u,v;
        int cost;
    } Edge;
    Edge edge[N];
    int dis[N], pre[N];
    bool Bellman_Ford()
    {
        for(int i = 1; i <= nodenum; ++i)
        {
            if(i==original)
                dis[i]=0;
            else
                dis[i]=MAX;
        }
        for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)//循环n-1次
            for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)//遍历每条边
            {
                if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛(顺序一定不能反~)
                {
                    dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
                    printf("%d ",dis[edge[j].v]);
                    pre[edge[j].v] = edge[j].u;
                }
                printf("%d ",dis[edge[j].v]);
            }
        bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
        for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
            if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
            {
                flag = 0;
                break;
            }
        return flag;
    }
    void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向)
    {
        while(root != pre[root]) //前驱
        {
            printf("%d-->", root);
            root = pre[root];
        }
        if(root == pre[root])
            printf("%d
    ", root);
    }
    int main()
    {
        scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
        pre[original] = original;
        for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
        {
            scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
        }
        if(Bellman_Ford())
            for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
            {
                printf("%d
    ", dis[i]);
                printf("Path:");
                print_path(i);
            }
        else
            printf("have negative circle
    ");
        return 0;
    }
    

    spfa算法:

    算法流程

    算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛,若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。直到队列为空时算法结束。

    这个算法,简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

    SPFA——Shortest Path Faster Algorithm,它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单:

    设Dist代表S到I点的当前最短距离,Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞,只有Dist[S]=0,Fa全部为0。

    维护一个队列,里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

    每次迭代,取出队头的点v,依次枚举从v出发的边v->u,设边的长度为len,判断Dist[v]+len是否小于 Dist[u],若小于则改进Dist[u],将Fa[u]记为v,并且由于S到u的最短距离变小了,有可能u可以改进其它的点,所以若u不在队列中,就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空,也就是S到所有的最短距离都确定下来,结束算法。若一个点入队次数超过n,则有负权环

    SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k,有办法证明对于通常的情况,k在2左右。

    代码模板:

    SPFA
    void Spfa()
    {
        for (int i(0); i<num_town; ++i)//初始化
        {
            dis[i] = MAX;
            visited[i] = false;    
        }
        queue<int> Q;
        dis[start] = 0;
        visited[start] = true;
        Q.push(start);
        while (!Q.empty()){
            int temp = Q.front();
            Q.pop();
            for (int i(0); i<num_town; ++i)
            {
                if (dis[temp] + road[temp][i] < dis[i])//存在负权的话,就需要创建一个COUNT数组,当某点的入队次数超过V(顶点数)返回。
                {
                    dis[i] = dis[temp] + road[temp][i];
                    if (!visited[i])
                    {
                        Q.push(i);
                        visited[i] = true;    
                    }        
                }            
            }
            visited[temp] = false;            
        }    
    }
    

      四种算法总结完了,都是东拼西凑的,自己学的也不好,还是静下心来好好学吧。也许有一天,你发觉日子特别的艰难,那可能是这次的收获将特别的巨大。这几天总是在抱怨生活,患得患失,却忘了自己为什么留下来暑期集训,因为你什么都没有,所以你必须努力!噶呜!~加油

                                                                                                                                                                             ————Anonymous.PJQ

    ————Anonymous.PJQ
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