【数据结构】P1310 表达式的值

【题目链接】

https://www.luogu.org/problem/P1310

题目描述

对于1 位二进制变量定义两种运算：

运算的优先级是：

1. 先计算括号内的，再计算括号外的。

2. “× ”运算优先于“⊕”运算，即计算表达式时，先计算× 运算，再计算⊕运算。例如：计算表达式A⊕B × C时，先计算 B × C，其结果再与 A 做⊕运算。

现给定一个未完成的表达式，例如_+(_*_)，请你在横线处填入数字00或者11 ，请问有多少种填法可以使得表达式的值为00。

输入格式

共 2 行。

第1 行为一个整数 LL，表示给定的表达式中除去横线外的运算符和括号的个数。

第2 行为一个字符串包含 LL 个字符，其中只包含’（’、’）’、’+’、’*’这44 种字符，其中’（’、’）’是左右括号，’+’、’*’分别表示前面定义的运算符“⊕”和“×”。这行字符按顺序给出了给定表达式中除去变量外的运算符和括号。

输出格式

共1 行。包含一个整数，即所有的方案数。注意：这个数可能会很大，请输出方案数对1000710007取模后的结果。

输入输出样例

输入 #1

4
+(*)

输出 #1

３

说明/提示

【输入输出样例说明】

给定的表达式包括横线字符之后为：_+(_*_)

在横线位置填入(0 、0 、0) 、(0 、1 、0) 、(0 、0 、1) 时，表达式的值均为0 ，所以共有3种填法。

【题解】

1、转变为后缀表达式的形式，然后，如果是操作数要添加一个数字，记住第一个位置要多添加一个‘.’

2、然后进行推导，把四种情况的转移状态写清楚。

参考题解中duyi 

第一步：中缀转后缀

后缀表达式是什么呢？参见洛谷P1449

这里先给大家介绍一下中缀表达式转后缀表达式的一般方法：

中缀表达式a + b*c + (d * e + f) * ga+b∗c+(d∗e+f)∗g，其转换成后缀表达式则为a b c * + d e * f + g * +abc∗+de∗f+g∗+。

转换过程需要用到栈，具体过程如下：

1）如果遇到操作数，我们就直接将其输出。

2）如果遇到操作符，则我们将其放入到栈中，遇到左括号时我们也将其放入栈中。

3）如果遇到一个右括号，则将栈元素弹出，将弹出的操作符输出直到遇到左括号为止。注意，左括号只弹出并不输出。

4）如果遇到任何其他的操作符，如（“+”， “*”，“（”）等，从栈中弹出元素直到遇到发现更低优先级的元素(或者栈为空)为止。弹出完这些元素后，才将遇到的操作符压入到栈中。有一点需要注意，只有在遇到" ) "的情况下我们才弹出" ( "，其他情况我们都不会弹出" ( "。

5）如果我们读到了输入的末尾，则将栈中所有元素依次弹出。

备注：本题中我们用一个"."来代表数字。扫描整个表达式（读入的字符串），如果当前位置不是括号（既不是左括号也不是右括号），就在后缀表达式里填一个"."表示这里应有一个数字。

第二步：DP

状态转移方程很好想：

如果当前是"*"：

f[0][now]=f[0][now]∗f[0][last]+f[0][now]∗f[1][last]+f[1][now]∗f[0][last]

f[1][now]=f[1][now]∗f[1][now]

（注意两式顺序不能颠倒，因为1式中需要用到f[1][now]f[1][now]的原始值）

如果当前是"+":

f[1][now]=f[1][now]∗f[1][last]+f[0][now]∗f[1][last]+f[1][now]∗f[0][last]

f[0][now]=f[0][now]∗f[1][last]

（两式的顺序同样不能颠倒）

其中，f[i][j]表示j号数字是i的情况有多少种，初始化为1

---

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 10007 ;
const int N = 1e5+10;

int f[2][N] ;

int priority( char s ){
    switch ( s ){
        case '+' : return 1 ;
        case '*' : return 2 ;
        case '(' :
        case ')' : return -1;
    }
}

void toSuffixString( string &s ){
    int len = s.length();

    string res = "." ;
    stack < int > Op ;

    for(int i=0;i<len ;i++){
        /*if( s[i] == '.') {
            res += ".";
        }else */
        if( s[i] == '(' || s[i] == '*' ){
            Op.push(s[i]);
        }else if( s[i] == ')' ){
            while( !Op.empty() && Op.top() != '(' ){
                res += Op.top();
                Op.pop();
            }
            //出来的时候，栈顶为(.
            Op.pop();
        }else{
            while( !Op.empty() && priority(Op.top()) >= priority(s[i]) ){
                res += Op.top();
                Op.pop();
            }
            //出来的时候，栈里面的运算符优先级低于当前位置.
            Op.push( s[i] ) ;
        }
        if( !(s[i] == '(' || s[i] == ')') ){
            res += ".";
        }
    }
    while( !Op.empty() ){
        res += Op.top();
        Op.pop();
    }
    //cout << res << endl ;
    s = res ;
}

void Calc( string s ){
    //cout << s << endl ;
    int j = 0 ;
    int len = s.length();
    for(int i=0 ; i < len ; i++ ){
        if( s[i] == '.' ){
            j ++ ;
            f[0][j] = f[1][j] = 1 ;
        }else if( s[i] == '*' ){
            j -- ;
            f[0][j] =(f[1][j] * f[0][j+1] +
                      f[0][j] * f[1][j+1] +
                      f[0][j] * f[0][j+1] ) % mod ;

            f[1][j] = (f[1][j] * f[1][j+1]) % mod ;

        }else if( s[i] == '+' ){
            j -- ;
            f[1][j] =(f[1][j] * f[0][j+1] +
                      f[0][j] * f[1][j+1] +
                      f[1][j] * f[1][j+1] ) % mod ;

            f[0][j] =(f[0][j] * f[0][j+1] ) %mod ;
        }
    }
    cout << f[0][1] << endl;
}

int main(){
    ios_base :: sync_with_stdio( false );
    cin.tie(NULL) , cout.tie(NULL) ;
    int n ;
    string str ;
    cin >> n >> str ;
    toSuffixString(str);
    Calc(str);
    return 0;
}