快速幂
typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)
{
ll res=1;
while(n>0)
{
if(n&1)//if(n%2==1)
res=res*x%mod;
x=x*x%mod;//把x平方
n>>=1;//n=n/2 舍去最后一位
}
return res;
}
如果用来取模的数本身很大，快速幂会爆掉的话，加上快速乘来优化时间，以达到大数相乘取模
typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)
{
ll res=1;
while(n>0)
{
if(n&1)
res = mod_mulit(res,x,mod);
x = mod_multi(x,x,mod);
n >>= 1;
}
return res;
}
树状数组
查询区间和，引申：查询区间最值差
int lowbit(int x)//lowbit(x)表示2^k
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int k)//在位置x增加k
{
while(x<=n)
{
c[x]+=k;
x+=lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int res=0;
while(x>0)
{
res+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
memset(c,0,sizeof(c));//输入记得清空
for(int i=1; i<=n; i++)//树状数组处理的是下标为1的数组
{
scanf("%d",&a[i]);
update(i,a[i]);//开始的时候每个元素初始值为0,对应位置加a[i]即可
}
最长公共子序列
char/int a[55],b[55];
int dp[55][55];//dp若是太大，就利用滚动数组取余处理
int lcs()
{
//(char)
int la=strlen(a);
int lb=strlen(b);
for(int i=0;i<la;i++)
{
for(int j=0;j<lb;j++)
{
if(a[i]==b[j])
dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;//两个数组整体往后挪一位
else
dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
}
}
return dp[la][lb];
}
欧几里得算法
（辗转相除法）
可以调用__gcd(a,b); v或者自己写函数，函数如下
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return(b,a%b);
}
扩展欧几里得
求(ax+by=gcd(a,b))的整数解(x)、(y)，同时可以求出最大公因数。
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int yin=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
//x1=y2,
//y1=x2-(a/b)*y2;
return yin;
}
int main()
{
int a,b,x,y;
scanf("%d %d",&a,&b);
int maxx=exgcd(a,b,x,y);//最大公因数
return 0;
}
扩展欧几里得求逆元
以上两种解法均要满足a、p互质。
逆元定义：ax ≡ 1 (mod p) 满足a乘以x对p取模等于1 ，此时称 x为a对p的逆元。
只有a与p互质才有逆元 ，互质即gcd(a,p)=1
问法：求 ：(a/b)%p；转化成 (ax)%p （即需要求b的逆元x），即bx≡1modp，设一个未知数y，则有bx+py=1（x即为所求逆元）（简介化成扩展欧几里得问题，因为b、p互质，所以gcd(b,p)=1 ）。
int inverse(int b,int p)//求b的逆元x
{
int d=ex_gcd(b,p,x,y);//这里面的参数x就是所求逆元
if(d==1)
return (x%p+p)%p;
//防止逆元为负，若需要负数作为逆元则return x即可
return -1;//逆元不存在则返回-1
}
Dijkstra
void dijkstra()
{
memset(book,0,sizeof(book));
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=e[1][i];
book[1]=1;
int u;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int minn=inf;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(book[j]==0&&dis[j]<minn)
{
u=j;
minn=dis[j];
}
}
book[u]=1;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
if(e[u][k]<inf&&dis[u]+e[u][k]<dis[k])
{
dis[k]=dis[u]+e[u][k];
}
}
}
}
Kruskal
//kruskal
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define inff 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
const int N=2200;
#define mod 998244353
typedef long long ll;
int f[N];
char a[N][10];
struct node
{
int l,r,d;
} e[N*N];
int getf(int x)
{
if(f[x]==x)
return x;
return f[x]=getf(f[x]);
}
int merge(int x,int y)
{
int t1=getf(x);
int t2=getf(y);
if(t1!=t2)
{
f[t2]=t1;
return 1;
}
return 0;
}
bool cmp1(node x,node y)
{
return x.d<y.d;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
while(cin>>n)
{
if(n==0)
break;
memset(e,0,sizeof(e));
/*for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)
e[i][j]=0;
else
e[i][j]=inf;
}
}*/
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%s",a[i]);
f[i]=i;
}
int p=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
//for(int j=i+1; j<=n; j++)
{
int sum=0;
for(int k=0; k<7; k++)
{
if(a[i][k]!=a[j][k])
sum++;
}
//e[i][j]=e[j][i]=sum;
e[p].l=i;
e[p].r=j;
e[p++].d=sum;
}
}
int w,ans=0;
sort(e,e+p,cmp1);
for(int i=0; i<p; i++)
{
if(merge(e[i].l,e[i].r)==1)
{
w++;
ans+=e[i].d;
}
if(w==n-1)
break;
}
cout<<"The highest possible quality is 1/"<<ans<<"."<<endl;
}
return 0;
}
Prim
//prim
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define inff 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
const int N=2200;
#define mod 998244353
typedef long long ll;
int e[N][N],dist[N];
int n,ans;
bool book[N];
char a[N][10];
void prim()
{
int countt=1;//countt代表点数，而不是边数
ans=0;//记录路径长度
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dist[i]=e[1][i];
book[i]=0;
}
book[1]=1;
while(countt<n)
{
int minn=inf,u;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!book[i]&&dist[i]<minn)
{
minn=dist[i];
u=i;
}
}
ans+=minn;
countt++;
book[u]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!book[i]&&dist[i]>e[u][i])
{
dist[i]=e[u][i];
}
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n)
{
if(n==0)
break;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)
e[i][j]=0;
else
e[i][j]=inf;
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
scanf("%s",a[i]);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
//for(int j=i+1; j<=n; j++)
{
int sum=0;
for(int k=0; k<7; k++)
{
if(a[i][k]!=a[j][k])
sum++;
}
e[i][j]=e[j][i]=sum;
}
}
prim();
cout<<"The highest possible quality is 1/"<<ans<<"."<<endl;
}
return 0;
}
最短路和最小生成树区别
最小生成树能够保证整个拓扑图的所有路径之和最小，但不能保证任意两点之间是最短路径。
最短路径是从一点出发，到达目的地的路径最小。
网络流
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N=220;
int e[N][N],pre[N];
int n,m,s,t;
bool book[N];
int maxflow;
bool bfs()
{
memset(book,false,sizeof(book));
memset(pre,0,sizeof(pre));
queue<int>Q;
Q.push(s);
book[s]=true;
while(!Q.empty())
{
int p=Q.front();
Q.pop();
if(p==t)
return true;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(book[i]==false)
{
if(e[p][i]>0)
{
book[i]=true;
pre[i]=p;
Q.push(i);
}
}
}
}
return false;
}
int solve()
{
maxflow=0;
while(1)
{
if(bfs()==false)
return maxflow;
int minn=inf;
for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
minn=min(minn,e[pre[i]][i]);
for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
{
e[pre[i]][i]-=minn;
e[i][pre[i]]+=minn;
}
maxflow+=minn;
}
}
int main()
{
int u,v,w;
int tt=1,ttt;
{
while(~scanf("%d %d",&m,&n))
{
memset(e,0,sizeof(e));
s=1,t=n;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
e[u][v]+=w;
}
printf("%d
",solve());
}
}
return 0;
}
KMP
查找子串（模式串）在原串中出现了几次。
char s[10020],t[1000020];
int lens,lent;
int nextt[10020];
void getnext()
{
int i=0,j=-1;
nextt[0]=-1;
while(i<lens)
{
if(j<0||s[i]==s[j])
{
nextt[++i]=++j;
}
else
j=nextt[j];
}
}
int kmp()
{
int i=0,j=0,ans=0;
while(i<lent)
{
if(j<0||t[i]==s[j])
{
i++;
j++;
}
else
j=nextt[j];
if(j==lens)
{
ans++;
j=nextt[j];
}
}
return ans;
}
01背包
//HDU-4508
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[2000000];
int main()
{
int w[110],v[110];
int n,i,m,j;
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
}//w幸福值 价值 v卡路里 重量
scanf("%d",&m);
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=v[i];j<=m;j++)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
printf("%d
",dp[m]);
}
return 0;
}
SPFA
注意：SPFA是求单源最短路径的，是BF的队列优化。因为Dijkstra无法处理负权边，BF算法的复杂度过高，所以可以用SPFA。SPFA的复杂度大约是O(kE),k是每个点的平均进队次数(一般的，k是一个常数，在稀疏图中小于2)，但是，SPFA算法稳定性较差，在稠密图中SPFA算法时间复杂度会退化。SPFA算法还可以判断图中是否有负权环，即一个点入队次数超过N。
队列的写法：（这个是判断负环的）
int n,tot,dis[N],head[N],cnt[N];
bool book[N];
//cnt记录每个点入队的次数,间接用来判断负环（cnt根据题意开）
struct node
{
int v,w,nex;
} e[M<<2];
void add(int u,int v,int w)
{
e[++tot].v=v;
e[tot].w=w;
e[tot].nex=head[u];
head[u]=tot;
}
bool SPFA()
{
for(int i=1; i<=n; i++)
book[i]=0,cnt[i]=0,dis[i]=inf;
queue<int>Q;
// 注意：队列开在外面会造成内存超限，
//因为开在函数内部函数结束后就会释放内存，开在外面就相当于全局变量就不会释放内存
//如果只执行一次就没区别
//但是可以自己先手动清空队列再用
Q.push(1);
dis[1]=0,book[1]=1,cnt[1]++;
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
book[u]=0;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=e[i].nex)
{
int v=e[i].v;
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
{
dis[v]=dis[u]+e[i].w;
if(!book[v])
Q.push(v),cnt[v]++,book[v]=1;
if(cnt[v]==n) // 如果不存在负环最多更新n-1次
return 0;
}
}
}
return 1;
}
int main()
{
tot=-1,mem(head,-1);
if(SPFA())
cout<<"NO"<<endl;
else
cout<<"YES"<<endl;
return 0;
}
栈的写法（该模板是POJ3159的）
void spfa()
{
//mem(book,0); //清不清都AC
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=inf; // 两个都可 fill(dis,dis+N,inf);
stack<int> S;//用栈，队列超时
while(!S.empty())
S.pop();
dis[0]=0,book[0]=1;
S.push(0);
while(!S.empty())
{
int p=S.top();
S.pop();
book[p]=0;
for(int i=head[p];i!=-1;i=e[i].nex)
{
int v=e[i].v;
int t=e[i].w;
if(dis[v]>dis[p]+t)
{
dis[v]=dis[p]+t;
if(!book[v])
{
book[v]=1;
S.push(v);
}
}
}
}
}
线段树
区间修改（A->B）、查询
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<string.h>
using namespace std;
#define mem(p,b) memset(p,b,sizeof(p))
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const int N=1e5+20;
ll a[N<<2],lazy[N<<2];//需要开到节点的四倍大小
void build(int L,int R,int i)
{
if(L==R)//当左右结点相同的时候，说明该节点可以建树，输入即可。
{
scanf("%lld",&a[i]);//即为叶子结点
return;//因为已经确定这个点可以输入了，也就类似叶结点，返回函数上次调用的地方即可。
}
//否则往下继续找
int mid=(L+R)>>1;
build(L,mid,i<<1);//递归建立左子树
build(mid+1,R,i<<1|1);//递归建立右子树
a[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1];//统计该点(i)的左子树和右子树之和
//a这个操作也可以另外写到一个函数pushup中(即pushup(i))，这个看自己怎么写代码
//节点数据向上更新
//根据题意写，这一题是求区间和，之前左区间和右区间相加即可
//例如如果求区间内最大值，则写成：a[i]=max(a[i<<1],a[i<<1|1]);
}
void pushdown(int i,int len)//节点懒惰标记下推
{
if(lazy[i])//如果懒惰标记为真，说明之前有过懒惰标记，现在需要进行更新
{
// lazy[i<<1]+=lazy[i];//懒惰标记往左结点传
// lazy[i<<1|1]+=lazy[i];//懒惰标记往右结点传
// //左右用 |1 区分
// //因为求区间和，所以当区间内每个元素加上一个值时，区间的和也加上这个值
// //对于区间求和, 原数组值需要加上lazy标记*子树所统计的区间长度
// a[i<<1]+=lazy[i]*(len-(len>>1));//(len-(len>>1)是左区间的长度
// a[i<<1|1]+=lazy[i]*(len>>1);//(len>>1)是右区间的长度
// lazy[i]=0;//由于懒惰标记向下传递，所以当前节点的懒惰标记取消
lazy[i<<1]=lazy[i];
lazy[i<<1|1]=lazy[i];
a[i<<1]=lazy[i]*(len-(len>>1));
a[i<<1|1]=lazy[i]*(len>>1);
lazy[i]=0;
}
//对于区间求最大值, 子树的值不需要乘以长度, 所以不需要传递参数区间长度len。
}
//注意：
// 1、单点更新, 不需要用到lazy标记
// 2、成段(区间)更新, 需要用到lazy标记来提高时间效率
void update(int x,int y,int L,int R,int i,int pluss)
{
if(L>=x&&R<=y)//当前节点区间包含在查询区间内
//范围缩小到left和right之间
{
// a[i]+=pluss*(R-L+1);
// lazy[i]+=pluss;
a[i]=pluss*(R-L+1);
lazy[i]=pluss;
return;
}
pushdown(i,R-L+1);
int mid=(L+R)>>1;
//更新区间
if(x<=mid)//更新左区间
update(x,y,L,mid,i<<1,pluss);
if(y>mid)//更新右区间
update(x,y,mid+1,R,i<<1|1,pluss);
//更新结点值
a[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1];
}
ll query(int x,int y,int L,int R,int i)//查询操作
{
if(L>=x&&R<=y)//当前节点区间包含在查询区间内
return a[i];//返回当前值
pushdown(i,R-L+1);
int mid=(L+R)>>1;
ll ans=0;
if(x<=mid)//递归查询左子树内部的的区间值
ans+=query(x,y,L,mid,i<<1);
if(y>mid)//递归查询右子树内部的的区间值
ans+=query(x,y,mid+1,R,i<<1|1);
return ans;//返回题目所需的区间和（左+右）
}
int main()
{
int n,q;
scanf("%d",&n);
build(1,n,1);
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int t,x,y;
scanf("%d %d %d",&t,&x,&y);
if(t==0)
printf("%lld
",query(x,y,1,n,1));
else
{
int c;
scanf("%d",&c);
update(x,y,1,n,1,c);//修改为c，不是加上
}
}
return 0;
}
线段树区间修改（A->A+B）、查询
//题意：
//C：对区间[l,r]每一个数+c；
// Q:查询区间[l,r]的所有元素的总和。
//线段树修改和查找的时间复杂度都是O(logn)。
//线段树基本思想：分治。
//线段树基本操作:建树、区间查询(最值;和)、区间修改(更新)、单点修改、单点查询。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f;
#define pi acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps 1e-9
typedef long long ll;
const int N=1e5+20;
ll a[N<<2],lazy[N<<2];//需要开到节点的四倍大小
void build(int L,int R,int i)
{
if(L==R)//当左右结点相同的时候，说明该节点可以建树，输入即可。
{
scanf("%lld",&a[i]);//即为叶子结点
return;//因为已经确定这个点可以输入了，也就类似叶结点，返回函数上次调用的地方即可。
}
//否则往下继续找
int mid=(L+R)>>1;
build(L,mid,i<<1);//递归建立左子树
build(mid+1,R,i<<1|1);//递归建立右子树
a[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1];//统计该点(i)的左子树和右子树之和
//a这个操作也可以另外写到一个函数pushup中(即pushup(i))，这个看自己怎么写代码
//节点数据向上更新
//根据题意写，这一题是求区间和，之前左区间和右区间相加即可
//例如如果求区间内最大值，则写成：a[i]=max(a[i<<1],a[i<<1|1]);
}
void pushdown(int i,int len)//节点懒惰标记下推
{
if(lazy[i])//如果懒惰标记为真，说明之前有过懒惰标记，现在需要进行更新
{
lazy[i<<1]+=lazy[i];//懒惰标记往左结点传
lazy[i<<1|1]+=lazy[i];//懒惰标记往右结点传
//左右用 |1 区分
//因为求区间和，所以当区间内每个元素加上一个值时，区间的和也加上这个值
//对于区间求和, 原数组值需要加上lazy标记*子树所统计的区间长度
a[i<<1]+=lazy[i]*(len-(len>>1));//(len-(len>>1)是左区间的长度
a[i<<1|1]+=lazy[i]*(len>>1);//(len>>1)是右区间的长度
lazy[i]=0;//由于懒惰标记向下传递，所以当前节点的懒惰标记取消
}
//对于区间求最大值, 子树的值不需要乘以长度, 所以不需要传递参数区间长度len。
}
//注意：
// 1、单点更新, 不需要用到lazy标记
// 2、成段(区间)更新, 需要用到lazy标记来提高时间效率
void update(int x,int y,int L,int R,int i,int pluss)
{
if(L>=x&&R<=y)//当前节点区间包含在查询区间内
//范围缩小到left和right之间
{
a[i]+=pluss*(R-L+1);
lazy[i]+=pluss;
return;
}
pushdown(i,R-L+1);
int mid=(L+R)>>1;
//更新区间
if(x<=mid)//更新左区间
update(x,y,L,mid,i<<1,pluss);
if(y>mid)//更新右区间
update(x,y,mid+1,R,i<<1|1,pluss);
//更新结点值
a[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1];
}
ll query(int x,int y,int L,int R,int i)//查询操作
{
if(L>=x&&R<=y)//当前节点区间包含在查询区间内
return a[i];//返回当前值
pushdown(i,R-L+1);
int mid=(L+R)>>1;
ll ans=0;
if(x<=mid)//递归查询左子树内部的的区间值
ans+=query(x,y,L,mid,i<<1);
if(y>mid)//递归查询右子树内部的的区间值
ans+=query(x,y,mid+1,R,i<<1|1);
return ans;//返回题目所需的区间和（左+右）
}
int main()
{
int n,q;
while(~scanf("%d %d",&n,&q))
{
mem(lazy,0);//如果多组数据lazy数组需要进行清空
mem(a,0);
build(1,n,1);//开始建树，传入树的总区间(传入最左端点，最右端点)和树的根节点
//建树的过程中输入每一个节点
for(int i=1;i<=q;i++)
{
char ch;
getchar();//吸收每次读入的空格
scanf("%c",&ch);
if(ch=='Q')//询问区间内的和
{
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
ll ans=query(x,y,1,n,1);
printf("%lld
",ans);
}else if(ch=='C')//往区间内每一个数上都插入pluss
{
int x,y,z;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
update(x,y,1,n,1,z);
}
}
}
return 0;
}
邻接表
int tot,head[N];
struct node
{
int v,w,nex; //w权值
// 根据题意加 花费 cost
}e[M];
void add(int u,int v,int w)
{
e[++tot].v=v;
e[tot].w=w;
e[tot].nex=head[u];
head[u]=tot;
// e[tot].cost=cost; 根据题意加
}
int main()
{
tot=-1;
return 0;
}
三分
double L=0,R=1e9;
while(L+1e-3<=R) // while(R-L>=1e-3)
{
double m1=L+(R-L)/3,m2=R-(R-L)/3;
if(f(m1)<f[m2]) l=m1;
else r=m2;
}