最大上升序列算法

最长上升子序列问题：

给出一个由n个数组成的序列x[1..n]，找出它的最长单调上升子序列。即求最大的m和a1,
a2……,am，使得a1<a2<……<am且x[a1]<x[a2]<……<x[am]。

1.动态规划求解思路分析：（O(n^2)）

经典的O(n^2)的动态规划算法，设a[i]表示序列中的第i个数，b[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程：b[i] = max{1, b[j] + 1} (更新，最大的加一)(j = 1, 2, ..., i - 1, 且a[j] < a[i])。

令a[i]表示输入第i个元素，b[i]表示从a[1]到a[i]中以a[i]结尾的最长子序列长度。对于任意的0 <  j <= i-1，如果a(j) < a(i)，则a(i)可以接在a(j)后面形成一个以a(i)结尾的新的最长上升子序列。对于所有的 0 <  j <= i-1，我们需要找出其中的最大值。

DP状态转移方程:

b[i] = max{1, b[j] + 1} (j = 1, 2, 3, ..., i-1 且 a[j] < a[i])

解释一下这个方程，i， j在范围内:

如果 a[j] < a[i] ，则b[i] = b[j] + 1

如果 a[j] >= a[i] ，则b[i] = 1

#include <stdio.h>
int a[10000],b[10000];
int main()
{
    int n, i, j, max;
    scanf("%d", &n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = 1;
    }
    for(i=n-1;i>=0;i--)
        for(j=i;j<n;j++)
            if(a[i]<a[j] && b[j]+1>b[i])
                b[i] = b[j]+1;
    for(max=1,i=0;i<n;i++)
        if(max < b[i])
            max = b[i];
        printf("%d
", max);
    return 0;
}

2.贪心+二分查找：（O(nlogn)）
开辟一个栈，每次取栈顶元素s和读到的元素a做比较，如果a>s，则加入栈；

如果a<s，则二分查找栈中的比a大的第1个数，并替换。

最后序列长度为栈的长度。  
这也是很好理解的，对x和y，如果x<y且E[y]<E[x],用E[x]替换  E[y],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大。  
举例：原序列为1，5，8，3，6，7  
栈为1，5，8，此时读到3，则用3替换5，得到栈中元素为1，3，8

再读6，用6替换8，得到1，3，6

再读7，得到最终栈为1，3，6，7

最长递增子序列为长度4。 

用数组模拟

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int b[100100];
int a[100111];
int f(int a[], int n)
{

    int t, i, z ,y, mid;
    b[t=1] = a[0];
    for(i=1;i<n;i++)
        {
            if(a[i]>b[t])
                b[++t] = a[i];
            else
            {
                z=0;y=t;
                while(z<=y)
                {
                     mid = (z+y)/2;
                    if(b[mid] >= a[i])
                        y = mid-1;
                    else
                        z = mid+1;
                }
                b[z] = a[i];
            }
        }
    return t;
}
int main()
{

    int n, i, k, j;
    scanf("%d", &n);
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    printf("%d
", f(a, n));
    return 0;
}

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