逆元入门

逆元（inv）

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

逆元就是这样应用的；

 

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在是素数的情况下，对任意整数都有。 
如果无法被整除，则有。 
可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。

题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

复杂度O(logn)；

代码：

 

const int mod = 1000000009;
long long quickpow(long long a, long long b) {
    if (b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a %= mod;
    while(b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }
    return ret;
}
long long inv(long long a) {
    return quickpow(a, mod - 2);
}

(2)扩展欧几里得算法求逆元

 

扩展欧几里得算法可以参考小白书；

百度百科-乘法逆元中有这样一个例子:

 

例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

求x，k就是扩展欧几里得算法了吧~

 

可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；

复杂度：O(logn)；

代码：

 

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else {
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
ll inv(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    extend_gcd(a, n, x, y);
    x = (x % n + n) % n;
    return x;
}

 

 

(3) 逆元线性筛 ( P为质数 )

求1,2,...,N关于P的逆元（P为质数）

复杂度：O(N)

代码：

 

const int mod = 1000000009;
const int maxn = 10005;
int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < 10000; i++)
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

如果是求阶乘的逆元呢？（阶乘数组：fac[ ]）

代码：

for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
    inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;

还有一个定理可以用来求组合数：（卢卡斯定理）

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+5;
#define mod 1000000007
#define debug puts("ok!");
ll fac[maxn];

void init(){
	fac[0] = fac[1] = 1;
	for(int i = 2;i<maxn;i++) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
}

ll quick_mod(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while(b)
	{
		if(b&1) res = (res*a)%mod;
		b >>= 1;
		a = (a*a)%mod;
	}
	return res;
}

ll C(ll n,ll m){
	if(m>n){
		return 0;
	} else {
		return (fac[n]*(quick_mod(fac[n-m]*fac[m]%mod,mod - 2))%mod);	
	}
}

ll lucas(ll n, ll m){
	if(m == 0){
		return 1;
	} else {
		return C(n%mod,m%mod)*(lucas(n/mod,m/mod))%mod;
	}
}

int main()
{
	ll n,m;
	init();
	while(~scanf("%lld %lld",&n,&m))
	{
		printf("%lld
",lucas(n,m-2));
	}
	return 0;
}

参考blog：

https://blog.csdn.net/raalghul/article/details/51752369

https://blog.csdn.net/wyg1997/article/details/52152282

http://www.voidcn.com/blog/qq_28954601/article/p-6227778.html、

https://menyf.gitbooks.io/acm-icpc-template/6_%E6%95%B0%E8%AE%BA/%E9%80%86%E5%85%83.html。