1033 骨牌覆盖 V2（基于 状压DP的矩阵快速幂）

1033 骨牌覆盖 V2 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 320 难度：7级算法题

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在m*n的一个长方形方格中，用一个1*2的骨牌排满方格。问有多少种不同的排列方法。（n <= 5)

 

例如：3 * 2的方格，共有3种不同的排法。（由于方案的数量巨大，只输出 Mod 10^9 + 7 的结果）

 

Input

2个数M N，中间用空格分隔（2 <= m <= 10^9，2 <= n <= 5）

Output

输出数量 Mod 10^9 + 7

Input示例

2 3

Output示例

3

思路：m特别大 n特别小 思考用状压DP但是一看数据1e9解决不了怎么办呢？

我们可以找到初始状态与下一个状态的矩阵的关系，代码实现如下

void dfs(int i,int j,int k,int u)
{
	if(u == n){
		x.s[i][k]++;
		return;
	}
	if((j&(1<<u))){
		dfs(i,j,k,u+1);
		return;
	}
	dfs(i,j|(1<<u),k|(1<<u),u+1);
	if(u+1<n && !(j&(1<<u)) && !(j&(1<<(u+1))))
	{
		dfs(i,j|(1<<u)|(1<<(u+1)),k,u+2);
	}
}
for(int i = 0;i<num;i++){
	dfs(i,i,0,0);
}

然后用矩阵快速幂优化就行了

AC：代码  时间15ms

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std; 

typedef long long ll;
typedef long long int lli;
typedef unsigned long long llu;

#define mod 1000000007

const int maxn = 1<<5;
int num,n,m;
struct matrix{
	ll s[maxn][maxn];
}x;

matrix MulMatrix(matrix a,matrix b,int c,int d,int e)
{
	matrix res;
	for(int i = 0;i<c;i++){
		for(int j = 0;j<d;j++){
			int x = 0;
			for(int k = 0;k<e;k++){
				x = (x+(a.s[i][k]*b.s[k][j]))%mod;
			}
			res.s[i][j] = x;
		}
	}
	return res;
}

matrix MatrixPow(matrix a,int b)
{
	matrix res;
	memset(res.s,0,sizeof(res.s));
	for(int i = 0;i<maxn;i++){
		res.s[i][i] = 1;
	}
	while(b)
	{
		if(b&1){
			res = MulMatrix(res,a,1,num,num);
		}
		b>>=1;
		a = MulMatrix(a,a,num,num,num); 
	}
	return res;
}

void dfs(int i,int j,int k,int u)
{
	if(u == n){
		x.s[i][k]++;
		return;
	}
	if((j&(1<<u))){
		dfs(i,j,k,u+1);
		return;
	}
	dfs(i,j|(1<<u),k|(1<<u),u+1);
	if(u+1<n && !(j&(1<<u)) && !(j&(1<<(u+1))))
	{
		dfs(i,j|(1<<u)|(1<<(u+1)),k,u+2);
	}
}

int main()
{

	scanf("%d %d",&m,&n);
	num = (1<<n);
	memset(x.s,0,sizeof(x.s));
	for(int i = 0;i<num;i++){
		dfs(i,i,0,0);
	}
	matrix y = MatrixPow(x,m);
	printf("%lld
",y.s[0][0]);
	return 0;
}