【题解】 AtCoder ARC 076 F

题面

题目大意:

给你(m)张椅子，排成一行，告诉你(n)个人，每个人可以坐的座位为([1,l]igcup[r,m])，为了让所有人坐下，问至少还要加多少张椅子。

Solution:

• 为什么加椅子？我们可以在最左边或最右边一直加直到人人都有座位。
• 首先这道题目抽象成二分图很简单，然后我们可以只要求解出人与座位的最大匹配是多少，总人数减去即可，但跑二分图最大匹配显然会超时，我们就可以往霍尔定理方面想。
• 然后你还需要知道一个霍尔定理推论：假设某个人的集合为(X)，这个集合所对应的椅子的集合为(Y)，如果(|X|leq|Y|)，则具有完美匹配，如果(|X|geq|Y|)，则(X)至少要删去(|X|-|Y|)个元素，才能有完备匹配，我们定义(Gamma(X)=|X|-|Y|)。

在这题里，这个就是至少需要添加的椅子数目，所以我们要找出最大的(Gamma(X))

• 接下来我们就来分析怎么找出最大的(Gamma(X))，因为(X)不具有任何性质，不好下手，我们考虑(Y)有啥特点，他一定是([1,l]igcup[r,m])，然后我们可以通过这个(Y)确定(|X|)，所以会有一下做法

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法一：暴力枚举

• 暴力枚举(l,r)，椅子的个数为(l+m-r+1)，通过上面的定理处理出答案，找出(Gamma)最大值。时间复杂度：(O(n^2))貌似会更高到三方

法二：与其说是法二不如说是法一优化

• 我们考虑上面的算法哪一些地方是冗余的。假设我们枚举出(l)，根据法一，我们会枚举出所有的(r)，显然不用枚举所有的，实际上只有找出这个(l)对应后面的(r)算出来的最大值，如何快速查询出最大值，我们考虑使用线段树。
• 具体如何优化这个问题：计算式子是人数(-(l+m-r+1))。
• 因为固定了(l)，我们可以确定现在最多有多少人，总人数与(l')有关（(l'<l)）所以我们把(l)从小到大排序，把人数不断往线段树里面丢。
• 具体多少人根据(r)决定，某一个人要加入计算的人数内，必须是他所允许的所有椅子范围都在讨论范围内，比如这个(l=l_i)，那么(0leq rleq r_i)的人数都可以加一（因为我们此时(l)是固定的，保证了这个人(l)在范围内，如果枚举的(r_j leq r_i)，那么这个人数是要在算(l ightarrow r_j)时算进去的）。
• 如果上面你看懂了，那就很好办了，我们会发现对于枚举的(r)，式子中的人数(-m-1+r)是一样的，人数我们是在推进(l)同时加入线段树，(-m-1+r)我们就可以提前加入线段树（建树）
• 对于一种特殊的情况，比如说：(l_i=1,r_i=1)，那么他能放的范围为所有，所以我们要判断(m-n)为答案的情况
• 对于普通枚举(l)，我们没必要考虑全部集合情况，所以我们就只用在线段树(l+2 ightarrow m+1)找出最大值减去(l)，得到的答案与(ans)取(max)就(ok)啦

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• 下面我们来将乱搞做法，我们把人按(l)排序，枚举到人后把他可以座椅子的范围用线段树标记，然后算出总可以坐的椅子数与人数相比较，求出每次(ans)的(max)，一开始错两个点，然后排了两个序，算两次就只错一个点了。这个方法显然是不对哒！！因为显然有一些人的子集没有枚举到。

这道题好理解吧(毛线，我起码看了一个下午才看懂，去吃饭的路上突然懂了23333)

对了贪心也可以过这道题，只不过做法没这么优美罢了

Attention:

1. 线段树是从(0 ightarrow m+1)，因为人的(l,r)包含(0,m+1)
2. 特殊情况，(|X|=n)
3. 枚举出(l)后，找最大值一定是从([l+1,m+1])中找

First, 你枚举的(r)要(>l)。
Second,(|X|=n)已经被考虑（没那个必要了，其实你从(l+1)开始也不影响）

Code:

//It is coded by ning_mew on 7.16
#include<bits/stdc++.h>
#define ls(x) (x*2)
#define rs(x) (x*2+1)
using namespace std;

const int maxn=2e5+7,inf=1e9+7;

int n,m,ans=0;
struct Opt{int l,r;}p[maxn];
struct Node{int lazy,maxx;}node[maxn*4];

bool cmp(const Opt &A,const Opt &B){return A.l<B.l;}
void pushdown(int num,int nl,int nr){
  if(!node[num].lazy)return;
  int lz=node[num].lazy; node[num].lazy=0;
  node[ls(num)].maxx+=lz;node[ls(num)].lazy+=lz;
  node[rs(num)].maxx+=lz;node[rs(num)].lazy+=lz;	
}
void update(int num){node[num].maxx=max(node[ls(num)].maxx,node[rs(num)].maxx);}
void build(int num,int nl,int nr){
  node[num].lazy=0; if(nl==nr){node[num].maxx=nr-m-1;return;}
  int mid=(nl+nr)/2;
  build(ls(num),nl,mid);build(rs(num),mid+1,nr);
  update(num);
}
void add(int num,int nl,int nr,int ql,int qr,int ad){
  if(ql<=nl&&nr<=qr){node[num].maxx+=ad;node[num].lazy+=ad;return;}
  if(nr<ql||qr<nl)return;
  int mid=(nl+nr)/2;pushdown(num,nl,nr);
  add(ls(num),nl,mid,ql,qr,ad);add(rs(num),mid+1,nr,ql,qr,ad);
  update(num);return;
}
int quary(int num,int nl,int nr,int ql,int qr){
  if(ql<=nl&&nr<=qr)return node[num].maxx;
  if(nr<ql||qr<nl)return -inf;
  int mid=(nl+nr)/2;pushdown(num,nl,nr);
  return max(quary(ls(num),nl,mid,ql,qr),quary(rs(num),mid+1,nr,ql,qr));
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].r);
  sort(p+1,p+n+1,cmp);p[n+1].l=inf;
  build(1,0,m+1);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    add(1,0,m+1,0,p[i].r,1);
    if(p[i].l!=p[i+1].l&&p[i].l<=m-1)ans=max(ans,quary(1,0,m+1,p[i].l+2,m+1)-p[i].l);
  }ans=max(ans,n-m);printf("%d
",ans);
  return 0;
}

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