深搜的剪枝技巧(一)——树的划分(可行性剪枝、上下界剪枝)

本系列的开篇之作，先介绍一下剪枝的概念

一、什么是剪枝

• 搜索的进程可以看成是从树根出发，遍历一颗倒置的树——搜索树的过程。剪枝就是通过某种判断，避免一些不必要的遍历过程

二、剪枝的原则

• 正确性
• 准确性
• 高效性

三、 深度优先搜索的优化技巧

• 优化搜索顺序
• 排除等效冗余
• 可行性剪枝
• 最优性剪枝
• 记忆化

四、树的划分(可行性剪枝、上下界剪枝)

• 问题描述——将整数 n 划分成 k 份，且每份不能为空，问有多少种不同的分法？当 n = 7，k = 3 时，下面三种分法被认为是相同的，1,1,5；1,5,1；5,1,1。

• 输入格式——输入文件只有一行，为两个整数 n 和 k((6 < n leq 200，2 leq k leq 6))

• 输出格式——输出文件只有一行，为一个整数，即不同的分法数

• 样例输入

  7 3
  

• 样例输出

  4
  

• 样例解释—— 4 种分法为 1,1,5；1,2,4；1,3,3；2,2,3

• 思路分析——将数字 n 划分成 k 份，就是求 (x_1 + x_2+...+x_k = n) 方程的解，依次枚举 (x_1到x_k) 的值，然后判断

• 剪枝分析

  • 由于分解数不考虑顺序，因此设定分解数依次递增，所以扩展结点时的“下届”应是不小于前一个扩展结点的值，即 (a[i-1] leq a[i])
  • 假设我们将 n 已经分解成了 (a[1] + a[2]+ ...+a[i-1])，则 (a[i]) 的最大值为将 i~k 这 k-i+1 份平均划分，即设 (m = n-(a[1]+a[2]+...+a[i-1]))，则 (a[i]leq m/(k-i+1))，所以扩展结点的“上届”是 (frac{m}{k-i+1})

• 代码：

  #include <iostream>
  
  using namespace std;
  
  int n,m,a[8],s= 0;
  
  void Solve(int k);
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
      a[0] = 1;
      Solve(1);
      cout<<s<<endl;
      return 0;
  }
  void Solve(int k)
  {
      if(n == 0)
          return;
      if(k == m)
      {
          if(n >= a[k-1])
              s++;
          return;
      }
      for(int i = a[k-1];i<=n/(m-k+1);i++)
      {
          a[k] = i;
          n -= i;
          Solve(k+1);
          n += i;
      }
  }