算法导论 第三部分——基本数据结构——二叉搜索树

一、什么是二叉搜索树

　　二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点，则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知，采用中根遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列。

二叉树的查找、最大/小、前驱和后继的伪代码： 复杂度都是 h

//search  递归版
TREE_SEARCH(x,k)
  if x=NULL or k=key[x]
      then return x
  if(k<key[x])
      then return TREE_SEARCH(left[x],k)
   else
      then return TREE_SEARCH(right[x],k)

//search 迭代版
ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)
  while x!=NULL and k!=key[x]
      do if k<key[x]
              then x=left[x]
           else
              then x=right[x]
   return x

//最小指
TREE_MINMUM(x)
    while left[x] != NULL
       do x=left[x]
    return x

//最大值
TREE_MAXMUM(x)
    while right[x] != NULL
        do x= right[x]
     return x

//后继
TREE_PROCESSOR(x)
// 右孩子非空，返回右子树的最小值
    if right[x] != NULL
        then return TREE_MINMUM(right(x))
// 右孩子为空，向上找后继
    y=parent[x]
    while y!= NULL and x ==right[y]
           do x = y
               y=parent[y]
    return y

二叉树的插入和删除 复杂度均为 h

插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化，难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些，删除结点比较复杂。

（1）插入

　　插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置，因此需要从根结点开始查找带插入结点位置，找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程：

书中给出了插入过程的伪代码：

TREE_INSERT(T,z)
    y = NULL;
    x =root[T]
    while x != NULL
        do y =x
            if key[z] < key[x]
                 then x=left[x]
                 else  x=right[x]
     parent[z] =y
     if y=NULL
        then root[T] =z
        else if key[z]>key[y]
                   then  keft[y]  = z
                   else   right[y] =z

（2）删除

　　从二叉查找树中删除给定的结点z，分三种情况讨论：

<1>结点z没有左右子树，则修改其父节点p[z]，使其为NULL。删除过程如下图所示：

<2>如果结点z只有一个子树（左子树或者右子树），通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示：

<3>如果z有两个子女，则先删除z的后继y（y没有左孩子），在用y的内容来替代z的内容。

书中给出了删除过程的伪代码：

TREE_DELETE(T,z)
    if left[z] ==NULL or right[z] == NULL
       then y=z
       else  y=TREE_SUCCESSOR(z)
   if left[y] != NULL
       then x=left[y]
       else  x=right[y]
   if x!= NULL
       then parent[x] = parent[y]
   if p[y] ==NULL
      then root[T] =x
      else if y = left[[prarnt[y]]
                  then left[parent[y]] = x
                  else  right[parent[y]] =x
    if y!=z
        then key[z] = key[y]
              copy y's data into z
     return y